Differenza tra relazione d'ordine e relazione d'ordine totale

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Differenza tra relazione d'ordine e relazione d'ordine totale #73112

avt
giaco
Punto
Avrei una domanda sulla differenza tra le relazioni d'ordine e le relazioni d'ordine totali. In una relazione d'ordine come < definita su N è richiesto che valga anche le proprietà transitiva, quale è la ragione pratica?

a< b \mbox{ e } b< c\ \Rightarrow\ a < c \mbox{ per ogni }a, b, c \in \mathbb{N}.

che succede se la premessa è falsa, l'implicazione vale?
Per stabilire un ordinamento non basta che a < b oppure b < a ?
Grazie
 
 

Differenza tra relazione d'ordine e relazione d'ordine totale #73133

avt
Galois
Amministratore
Ciao giaco emt

Attenzione che fai confusione tra due concetti ben distinti: relazione d'ordine e relazione d'ordine totale.

Per definizione una relazione si dice una relazione d'ordine se gode delle proprietà:

- riflessiva;
- antisimmetrica;
- transitiva.

Poi una relazione d'ordine (diciamola R) è d'ordine totale, se per ogni coppia di elementi distinti a, b vale:

aRb oppure bRa

Quindi nel caso della relazione "<" definita sull'insieme dei numeri naturali essa è, innanzitutto, una relazione d'ordine in quanto gode delle tre proprietà sopra elencate.

Inoltre, poiché presi due qualsiasi numeri naturali a e b vale:

a<b oppure b<a

la relazione oltre ad essere d'ordine è anche d'ordine totale.

Nota Bene: se non dovesse valere la proprietà transitiva una relazione non sarebbe più una relazione d'ordine e, di conseguenza, non potrà essere neanche una relazione d'ordine totale.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os