Inverso di una coppia ordinata con classi di resto

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Inverso di una coppia ordinata con classi di resto #72945

avt
xMauri94
Punto
Ciao a tutti ragazzi, ho un piccolissimo dubbio sul come impostare l'equazione congruenziale per ottenere l'inverso di una coppia in  Z_{12} \times Z_{12} :

L'operazione in questione è definita come segue:

 (a_1,b_1) * (a_2,b_2) = (a_1a_2, a_1b_2+b_1)

L'elemento neutro calcolato è:

 (\overline{1}, \overline{0})

Mi è stato chiesto di trovare l'inverso della coppia  (\overline{7}, \overline{2})

Dato che  \overline{7} è invertibile in  Z_{12} , il primo elemento della coppia è proprio  \overline{7}

La mia domanda è, per trovare l'altro elemento devo impostare questa equazione congruenziale?

 \overline{7}x+\overline{2} \equiv_{12} 0

Spero sia tutto chiaro, ringrazio in anticipo.
 
 

Inverso di una coppia ordinata con classi di resto #72965

avt
Galois
Coamministratore
Ciao xMauri94 emt

Ci sei quasi. Ricapitoliamo un attimo. Stiamo lavorando nell'insieme \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{12} in cui è definita la seguente operazione

(\bar{a}_1,\bar{b}_1) * (\bar{a}_2,\bar{b}_2) = (\bar{a}_1\bar{a}_2, \bar{a}_1\bar{b}_2+\bar{b}_1)

ed in cui sappiamo che l'elemento neutro è la coppia ordinata

(\bar{1},\bar{0})

Ci chiede di trovare l'inverso rispetto all'operazione * della coppia ordinata

(\bar{7},\bar{2})

Ovviamente tutto il ragionamento che faremo sarà inteso modulo 12. Cioè stiamo lavorando con classi di equivalenza modulo 12 ed a ricordarcelo sono proprio i trattini posti sopra i vari elementi.

Ora, cosa vuol dire trovare l'inverso, rispetto a * della coppia ordinata (\bar{7},\bar{2}) ?

Molto semplicemente vuol dire trovare quella coppia ordinata

(\bar{x},\bar{y}) \in \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{12}

tale che

(\bar{7},\bar{2}) * (\bar{x},\bar{y}) = (\bar{1},\bar{0})

Per com'è definita la nostra operazione, posto

a_1=7, \ b_1=2, \ a_2=x, \ b_2=y

ciò equivale a chiedere che:

(\bar{7}\bar{x}, \bar{7}\bar{y}+\bar{2})=(\bar{1},\bar{0})

da cui, avendo a che fare con coppie ordinate e poiché stiamo lavorando modulo 12, si hanno le due equazioni congruenziali

\bar{7}\bar{x} = 1 \ (mod \ 12)

\bar{7}\bar{y} + \bar{2} = 0 \ (mod \ 12)

Dalla prima si ha

x = 7 \ (mod \ 12)

e dalla seconda

y= 10 \ (mod \ 12)

L'inverso cercato è quindi

(\bar{7}, \bar{10})

Per maggiore sicurezza proviamo a verificarlo. Vediamo cioè se

(\bar{7},\bar{2}) * (\bar{7}, \bar{10}) = (\bar{1},\bar{0})

Ora

(\bar{7},\bar{2}) * (\bar{7}, \bar{10}) := (\bar{49}, \bar{70}+\bar{2}) = (\bar{49},\bar{72})=(\bar{1}, \bar{0})

in quanto

49 = 1 \ (mod \ 12) \ \mbox{e} \ 72=0 \ (\mod \ 12)

emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, xMauri94
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Os