Metodi di risoluzione per sistemi non lineari?

Buongiorno a tutti cari amici di youmath! Ho un dubbio che mi assilla da un po' di giorni e riguarda in particolare la risoluzione dei sistemi non lineari.

Al corso di Geometria 1 ci hanno insegnato molti metodi per risolvere sistemi lineari di equazioni, ora mi chiedevo appunto se esistesse un metodo efficace, (usando carta e penna) per risolvere sistemi anche non lineari, che non sia eventualmente la banale sostituzione!

Ad esempio qualcosa di simile all'uso delle matrici per i sistemi lineari, lo trovo un metodo molto efficiente (ranghi riduzioni etc..)!

Spero che gli amici matematici ci possano illuminare...Spero in una vostra risposta positiva grazie!

Ciao CrystalEvo.

Penso proprio che non esista un metodo generale che permetta di risolvere un sistema non lineare in modo esatto. Già non riusciamo a risolvere un'equazione di quinto grado perché in effetti non esiste, e non esisterà mai, una formula bellina che permetta di determinare le soluzioni esatte⁽¹⁾. Dobbiamo necessariamente ricorrere a metodi iterativi e dunque al pc.

Ovviamente ci sono casi in cui il sistema non lineare sia di facile risoluzione, ma sono "particolari" e costruiti a tavolino dagli insegnanti. Per sistemi non lineari più esotici che spesso saltano fuori dalle applicazioni, non abbiamo speranze di ottenere risultati esatti, dobbiamo affidarci a risultati approssimati, meglio che niente.

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(1) Mi riferisco a equazioni del tipo:

con

Il teorema di Abel-Ruffini ci assicura che in generale non esiste una relazione risolutiva esprimibile tramite radicali per questo tipo di equazione. Questa anomalia permise lo sviluppo di due importantissime branche della matematica: l'analisi numerica e la teoria di Galois.