Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza

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Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza #71999

avt
mori800
Punto
Potreste correggermi un esercizio sulla verifica di una relazione d'equivalenza? Il testo dell'esercizio è il seguente:

nell'insieme \mathbb{N} \times \mathbb{N} si consideri la relazione binaria definita dalla posizione

(a,b) \mathfrak {R} \ (c,d) \iff ad=bc

Stabilire se R è una relazione d'ordine o una relazione d'equivalenza.


Ecco come ho cercato di risolvere l'esercizio.

Riflessività

Presa una coppia ordinata (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}

devo verificare che

(a,b) \mathfrak {R} \ (a,b)\iff ab=ab

e ciò è sicuramente verificato.

Transitività

Considerate le coppie ordinate (a,b), (c,d), (e,f) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}

Ipotizzando che

(a,b) \mathfrak {R} \ (c,d) \iff ad=bc

e che

(c,d) \mathfrak {R} \ (e,f) \iff cf=de

voglio dimostrare che

(a,b) \mathfrak {R} \ (e,f) \iff af=be

Qui sono stato facilitato perché l'esercizio era affine a quello fatto poco fa.

Ho moltiplicato membro a membro le prime due condizioni:

ad \cdot cf = de \cdot bc

semplificando ho ottenuto che

af = be

e quindi la proprietà transitiva è verificata.

Simmetria / Antisimmetria

Per la simmetria deve accadere che:

sapendo che

(a,b) \mathfrak {R} \ (c,d) \iff ad=bc

si deve verificare che

(c,d) \mathfrak {R} \ (a,b) \iff bc=ad

Siccome è un' uguaglianza questa proprietà è sicuramente verificata.

Se avessimo voluto dimostrare l'antisimmetria avrei dovuto supporre che

(a,b) \mathfrak {R} \ (c,d) \iff ad=bc

e

(c,d) \mathfrak {R} \ (a,b) \iff bc=ad

e vedere se

(a,b) = (c,d)

Ma ciò è palesemente non vero perché


(a,b) \mathfrak {R} \ (c,d) \iff ad=bc

(c,d) \mathfrak {R} \ (a,b) \iff bc=ad

è verificata anche, per esempio, se

(a,b) = (1,1) \neq (c,d) = (2,2)

La relazione è, quindi, d'equivalenza.
 
 

Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza #72025

avt
Galois
Amministratore
Ciao mori88,

che dire se non un: complimenti! Finalmente hai portato a termine una dimostrazione come si deve. emt

Per questo motivo ho tolto lo spoiler, non c'è nulla da dover nascondere emt

Permettimi solo di fare una piccolissima osservazione (ormai dovresti aver capito che qui siamo parecchio pignoli) emt

Durante la dimostrazione della proprietà transitiva hai scritto:



Ho moltiplicato membro a membro le prime due condizioni:

ad \cdot cf = de \cdot bc

semplificando ho ottenuto che

af = be



Ovviamente hai semplificato entrambi i membri dell'uguaglianza per dc il che va bene, a patto però di dire che d e c sono diversi da zero!

Ragion per cui, per i momento, puoi dire che la tua relazione è una relazione d'equivalenza a patto di lavorare in

\mathbb{N}-\{0\}

ovvero nell'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.

Cosa accade se bc=0, ovvero se b=0 \ \mbox{oppure} \ c=0 ?

Dobbiamo andare a verificarlo a parte emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, mori800

Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza #72061

avt
mori800
Punto
Accidenti, è proprio vero: questo è un errore da principianti emt emt La relazione è definita in NxN ma la divisione in N - {0}.

Sempre a proposito della transitività, se d=0, c=0


Ho moltiplicato membro a membro le prime due condizioni:

ad \cdot cf = de \cdot bc

semplificando ho ottenuto che

af = be


avrei una identità 0=0

Questo mi permette ancora di dire che la proprietà transitiva è verificata?

se b=0 e quindi la prima condizione diventa ad=0 che è verificata per a=0 \vee d=0

Se a=0
allora in fondo alla dimostrazione della transitività si ha di nuovo 0=0

Se d=0

allora la seconda condizione diventa cf = 0

emt emt emt

Mi sfugge qualcosa....

Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza #72068

avt
Galois
Amministratore
Rieccoci qua emt

Procedendo come stai facendo tu si rischia di non uscirne davvero più.

Possiamo dire subito che la relazione, se è definita nell'insieme dei numeri naturali e si considera come suo elemento anche lo zero (*) non è transitiva e per farlo ci basta un esempio.

Se prendiamo

(a,b)=(1,2), \ (c,d)=(0,0), \ (e,f)=(3,4)

allora

(a,b) \mathfrak{R} (c,d)

infatti

a \cdot d=1 \cdot 0 = 0 = b \cdot c = 2 \cdot 0

ed anche

(c,d) \mathfrak{R} (e,f)

infatti il prodotto tra c ed f, così come il prodotto tra d ed e vale zero.

Ma, evidentemente

(a,b)=(1,2) non è in relazione con (e,f)=(3,4)

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(*) La definizione di insieme dei numeri naturali varia da testo a testo. Alcuni libri o docenti indicano infatti con

\mathbb{N} l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero e con

\mathbb{N}_0 l'insieme dei numeri naturali incluso lo zero.

Altri invece, proprio come noi, con \mathbb{N} includono anche lo zero.

Morale della favola sta a te vedere cosa intende, chi ha redatto l'esercizio, con il simbolo \mathbb{N}. Se lo zero è escluso, così come penso, la tua dimostrazione è perfetta.

Se lo zero è incluso allora, la relazione non gode della proprietà transitiva e dunque non è una relazione d'equivalenza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, mori800
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Os