Correzione esercizio su verifica relazione d'equivalenza

Potreste correggermi un esercizio sulla verifica di una relazione d'equivalenza? Il testo dell'esercizio è il seguente:

nell'insieme si consideri la relazione binaria definita dalla posizione



Stabilire se R è una relazione d'ordine o una relazione d'equivalenza.


Ecco come ho cercato di risolvere l'esercizio.

Riflessività

Presa una coppia ordinata

devo verificare che



e ciò è sicuramente verificato.

Transitività

Considerate le coppie ordinate

Ipotizzando che



e che



voglio dimostrare che



Qui sono stato facilitato perché l'esercizio era affine a quello fatto poco fa.

Ho moltiplicato membro a membro le prime due condizioni:



semplificando ho ottenuto che



e quindi la proprietà transitiva è verificata.

Simmetria / Antisimmetria

Per la simmetria deve accadere che:

sapendo che



si deve verificare che



Siccome è un' uguaglianza questa proprietà è sicuramente verificata.

Se avessimo voluto dimostrare l'antisimmetria avrei dovuto supporre che



e



e vedere se



Ma ciò è palesemente non vero perché






è verificata anche, per esempio, se



La relazione è, quindi, d'equivalenza.

Ciao mori88,

che dire se non un: complimenti! Finalmente hai portato a termine una dimostrazione come si deve.

Per questo motivo ho tolto lo spoiler, non c'è nulla da dover nascondere

Permettimi solo di fare una piccolissima osservazione (ormai dovresti aver capito che qui siamo parecchio pignoli)

Durante la dimostrazione della proprietà transitiva hai scritto:



Ovviamente hai semplificato entrambi i membri dell'uguaglianza per il che va bene, a patto però di dire che d e c sono diversi da zero!

Ragion per cui, per i momento, puoi dire che la tua relazione è una relazione d'equivalenza a patto di lavorare in



ovvero nell'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.

Cosa accade se , ovvero se ?

Dobbiamo andare a verificarlo a parte

Accidenti, è proprio vero: questo è un errore da principianti La relazione è definita in ma la divisione in .

Sempre a proposito della transitività, se




avrei una identità

Questo mi permette ancora di dire che la proprietà transitiva è verificata?

se e quindi la prima condizione diventa che è verificata per

Se
allora in fondo alla dimostrazione della transitività si ha di nuovo 0=0

Se

allora la seconda condizione diventa



Mi sfugge qualcosa....

Rieccoci qua

Procedendo come stai facendo tu si rischia di non uscirne davvero più.

Possiamo dire subito che la relazione, se è definita nell'insieme dei numeri naturali e si considera come suo elemento anche lo zero (*) non è transitiva e per farlo ci basta un esempio.

Se prendiamo



allora



infatti



ed anche



infatti il prodotto tra c ed f, così come il prodotto tra d ed e vale zero.

Ma, evidentemente

non è in relazione con

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(*) La definizione di insieme dei numeri naturali varia da testo a testo. Alcuni libri o docenti indicano infatti con

l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero e con

l'insieme dei numeri naturali incluso lo zero.

Altri invece, proprio come noi, con includono anche lo zero.

Morale della favola sta a te vedere cosa intende, chi ha redatto l'esercizio, con il simbolo . Se lo zero è escluso, così come penso, la tua dimostrazione è perfetta.

Se lo zero è incluso allora, la relazione non gode della proprietà transitiva e dunque non è una relazione d'equivalenza.