Esercizio tipo di relazione binaria

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Esercizio tipo di relazione binaria #71774

avt
mori800
Punto
Allora, eccomi con un altro esercizio sul tipo di relazione binaria: questo penso di averlo compreso e, spero, svolto al meglio. Ve ne chiedo conferma...

Nell'insieme \mathbb{N}\times\mathbb{N} si consideri la relazione binaria definita da

(a,b) R (c,d) \iff a+d = b+c

Stabilire se R è una relazione d'ordine o una relazione di equivalenza.

[Edit-Galois] Tentativo di risoluzione in spoiler. Vedi risposta[/Edit]

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Esercizio tipo di relazione binaria #71841

avt
Galois
Amministratore
Ciao a mori800 emt

Purtroppo hai fatto confusione tra ipotesi e tesi. senza tener conto che, le proprietà che vai a dimostrare, devono valere per qualunque coppia di elementi consideri nell'insieme e non per alcune scelte a caso.

Vediamo quindi come procedere.

Il nostro insieme è \mathbb{N} \times \mathbb{N}, ovvero è dato dal prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri naturali con se stesso. I suoi elementi sono quindi coppie ordinate di numeri naturali.

Abbiamo poi la seguente relazione definita sugli elementi di tale insieme:

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \iff a+d=b+c

Dobbiamo stabilire se si tratta di una relazione d'ordine o di una relazione d'equivalenza.

Iniziamo col vedere se gode della proprietà riflessiva.

Dobbiamo vedere se per ogni coppia

(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: \ (a,b) \mathfrak{R} (a,b)

Poiché, ovviamente:

a+b=a+b

la proprietà riflessiva è verificata.

Ora, poiché sia una relazione d'ordine che una relazione d'equivalenza godono della proprietà transitiva, vediamo se vale questa proprietà.


Consideriamo a tal proposito 3 coppie ordinate

(a,b), \ (c,d), \ (e,f) \in \mathbb{N}^2

e supponiamo che:

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \ \mbox{e} \ (c,d) \mathfrak{R} (e,f)

Dobbiamo dimostrare sfruttando le ipotesi che

(a,b) \mathfrak{R} (e,f)

Come procedere senza fare confusione?

Ti espliciti le ipotesi:

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \iff a+d = b+c

(c,d) \mathfrak{R} (e,f) \iff c+f = d+e

e ti chiedi:

1) cosa devo dimostrare? Che:

(a,b) \mathfrak{R} (e,f)

ovvero che:

a+f=b+e

2) cosa posso usare? Le ipotesi che ho e le varie proprietà che conosco (in base a come è definita la nostra relazione).

Vediamo come fare.

Per ipotesi sappiamo che

a+d = b+c

e

c+f = d+e

Sommando membro a membro abbiamo

a+d+c+f=b+c+d+e

Semplificando i termini uguali nei due membri della precedente uguaglianza si ha proprio

a+f=b+e

che è proprio quanto volevamo dimostrare. La nostra relazione è quindi transitiva.

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Passiamo adesso alla verifica della proprietà simmetrica o antisimmetrica. Se gode della proprietà simmetrica abbiamo a che fare con una relazione d'equivalenza, se soddisfa la proprietà antisimmetrica la relazione è d'ordine.

La relazione è simmetrica se:

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \Rightarrow (c,d) \mathfrak{R} (a,b)

Cioè assumendo come ipotesi che:

(a,b) \mathfrak{R} (c,d)

arrivo a dimostrare che

(c,d) \mathfrak{R} (a,b)

In questo caso, avendo a che fare con un'uguaglianza, è immediato vedere che la relazione è simmetrica.

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A rigor di cronaca, per l'antisimmetria, si deve supporre che

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \ \mbox{e} \ (c,d) \mathfrak{R} (a,b)

e verificare se:

(a,b)=(c,d)

per ogni coppia di elementi scelti.

Per far vedere che la nostra relazione non gode di tale proprietà basta fare un esempio.

Prese

(a,b)=(1,1) \ \mbox{e} \ (c,d)=(2,2)

allora

(a,b) \mathfrak{R} (c,d) \ \mbox{e} \ (c,d) \mathfrak{R} (a,b)

ma, evidentemente

(a,b) \neq (c,d)

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La nostra relazione è quindi una relazione d'equivalenza emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, mori800

Re: Esercizio tipo di relazione binaria #71996

avt
mori800
Punto
Ieri non ho potuto connettermi ma ho seguito tutte le risposte date (poi riordinate dagli admin) e penso di aver capito, finalmente, la consecutio delle dimostrazioni. Ho avuto il tempo di applicarle ad altri esercizi ... ve li sottoporrò appena possibile.

Intanto grazie ancora a Galois e all'utente col nick lunghissimo emt

GRAZIE.
Ringraziano: Galois
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Os