Verifica proprietà riflessiva simmetrica e transitiva

Ciao Avrei bisogno che qualcuno mi dicesse se ho verificato le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva correttamente nel seguente esercizio.

Nell'insieme delle coppie ordinate di numeri naturali, considera la relazione così definita:



Verifica che essa gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.


Allora io ho proceduto così...

1) Riflessiva: devo verificare che per ogni coppia generica risulta che .

Ho posto e e ho scritto , quindi è vero che


2) Simmetrica: per ipotesi considero e voglio dimostrare che .

Per ipotesi , da cui e quindi .


3) Transitiva: per ipotesi considero e voglio dimostrare che .

Da segue , mentre da segue .

Sommando membro a membro, ottengo



e da quest'ultima uguaglianza ottengo , cioè .


La dimostrazione è finita e dovrebbero essere verificate tutte le proprietà però pensando ad esempi numerici mi è venuto il dubbio che quello che ho fatto sia sbagliato, perché lavorando sul l'insieme dei numeri naturali come faccio a trovare coppie di numeri in relazione? A me sembra impossibile, sbaglio?

Spero qualcuno mi aiuti.
Ciao a tutti

Ciao

Le dimostrazioni sono fatte bene e sinceramente non vedo perché una simile relazione dovrebbe essere impossibile, pensa ad esempio alle coppie



che soddisfano la relazione che hai definito tu, proprio perché



e te ne potrebbero venire infinite altre!

Ciao

Non posso che sottoscrivere le parole di Berkilaparapappgnaffa, e ringraziarlo per essere intervenuto.

ahhahah che stupida avete ragione. grazie mille comunque della disponibilità.