Relazione d'ordine o di equivalenza?
Salve, posto un esercizio che chiede di stabilire se una data relazione binaria è una relazione d'ordine o di equivalenza.
Premetto che grazie a YM sono riuscito a migliorare la cultura (blanda) sulle relazioni binarie che i vari testi di algebra che finora avevo consultato mi avevano permesso di acquisire.Tuttavia vorrei verificare alcune risoluzioni cui sto giungendo.
Spero di non rubare troppo tempo.
Allora, l'esercizio in questione è: nell'insieme
si consideri la relazione binaria definita dalla posizione ed una relazione 
sugli elementi di S definita da:
Stabilire se R è una relazione d'ordine o d'equivalenza.
Io ho proceduto così
- Riflessiva: 
la prima è immediatamente verificata, la seconda è vera perché 
.
[Piccola nota: se il problema mi avesse assegnato 
la proprietà riflessiva non sarebbe stata verificata, giusto?]
- Antisimmetrica:
immediatamente verificata;
.
- Transitiva: considerati 
due elementi di 
e
La relazione è d'ordine.
Aggiungerei che è anche totale perché l'uguaglianza della condizione 1 è sempre verificata mentre la disuguaglianza della condizione 2 prevederebbe per tutti gli elementi 
vera per 
, o no?
Grazie
Ciao Mori800 
Dal tuo procedimento noto che fai un po' di confusione tra quali sono le ipotesi e su quello che effettivamente devi dimostrare. Detto questo, procediamo
Abbiamo un insieme
ed una relazione 
sugli elementi di S definita da:
Tale relazione è effettivamente una relazione d'ordine, infatti gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Dimostriamolo!
Riflessività: consideriamo un elemento 
.
Dobbiamo far vedere che
ovvero che
il che è indubbiamente vero. La nostra relazione è quindi riflessiva.
la proprietà riflessiva non sarebbe stata verificata, giusto?Se la relazione fosse stata definita nel seguente modo:
allora no, la relazione non sarebbe stata riflessiva. Torniamo ora a noi.
Antisimmetria: prendiamo ora due elementi
di S.
Supponendo che
dobbiamo dimostrare che:
Ora:
mentre:
Da cui segue che:
ovvero:
che è proprio quello che volevamo provare.
Transitività: siano 
tre elementi di S.
Affinché la nostra relazione sia transitiva, supponendo che:
dobbiamo dimostrare che:
Ora, da
segue che
mentre da
si ha
Ovvero, mettendo insieme i due risultati:
e
.
La relazione è quindi transitiva e di conseguenza è una relazione d'ordine.
-------------
Rimane da stabilire se è una relazione d'ordine totale.
Una relazione è d'ordine totale se, presi due qualsiasi di elementi di S, essi sono sempre confrontabili mediante la relazione, ovvero se:
sono due elementi di S, allora:
Tale proprietà non è, evidentemente, soddisfatta!
Prendi ad esempio 
Essendo 
i due elementi non sono confrontabili tramite la relazione la quale quindi, pur essendo una relazione d'ordine, non è di ordine totale.
Riguardo all'esercizio: è evidente che non ho saputo focalizzarmi al meglio su ciò che era opportuno dimostrare 
Ma un dubbio permane e riguarda la dimostrazione dell' antisimmetria. Io, dalla traccia, so che
.
Come arrivo a dire che, per essere antisimmetrica si deve verificare che
?
Cioè, questa nuova posizione che faccio è dovuta alla tesi stessa dell' antisimmetria ()?
Farò comunque altri esercizi sulla base della tua spiegazione e dovrò riguardare quelli già fatto prima di leggerla. Grazie tanto per la risposta!
Per quanto riguarda l'antisimmetria della relazione (che ti sta creando problemi) è bene rivedere la definizione di relazione antisimmetrica.
Preso un insieme 
e detti 
due suoi elementi, diremo che una relazione definita su 
è antisimmetrica se e solo se:
Cioè per dimostrare che una relazione (definita su un insieme) è antisimmetrica dobbiamo considerare due suoi generici elementi e supporre che il primo sia in relazione col secondo ed il secondo col primo.
A questo punto, sfruttando le proprietà della relazione, dobbiamo vedere se i due elementi coincidono. Se è così la relazione è antisimmetrica altrimenti no.
Tornando al nostro insieme ed alla nostra relazione per vedere se è antisimmetrica prendiamo due elementi di S
e supponiamo, cioè assumiamo che:
(cioè che il primo elemento è in relazione con il secondo)
e
cioè il secondo è in relazione con il primo.
Tenendo presente questo dobbiamo vedere se i due elementi coincidono, cioè se:
Come lo facciamo? Sfruttando quello che abbiamo supposto!
Poiché:
per com'è definita la nostra relazione si ha:
Ancora, avendo supposto che
si ha
Mettendo insieme (1) e (2) abbiamo:
e
da cui, ovviamente:
Da cui ne segue che:
cioè i due elementi coincidono e quindi la relazione è antisimmetrica.
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