Relazione d'ordine o di equivalenza?
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Relazione d'ordine o di equivalenza? #71553
![]() mori800 Punto | Salve, posto un esercizio che chiede di stabilire se una data relazione binaria è una relazione d'ordine o di equivalenza. Premetto che grazie a YM sono riuscito a migliorare la cultura (blanda) sulle relazioni binarie che i vari testi di algebra che finora avevo consultato mi avevano permesso di acquisire.Tuttavia vorrei verificare alcune risoluzioni cui sto giungendo. Spero di non rubare troppo tempo. Allora, l'esercizio in questione è: nell'insieme ![]() si consideri la relazione binaria definita dalla posizione ed una relazione ![]() Stabilire se R è una relazione d'ordine o d'equivalenza. Io ho proceduto così - Riflessiva: [Piccola nota: se il problema mi avesse assegnato - Antisimmetrica: ![]() - Transitiva: considerati ![]() e ![]() La relazione è d'ordine. Aggiungerei che è anche totale perché l'uguaglianza della condizione 1 è sempre verificata mentre la disuguaglianza della condizione 2 prevederebbe per tutti gli elementi Grazie |
Relazione d'ordine o di equivalenza? #71581
![]() Galois Amministratore | Ciao Mori800 ![]() Dal tuo procedimento noto che fai un po' di confusione tra quali sono le ipotesi e su quello che effettivamente devi dimostrare. Detto questo, procediamo ![]() Abbiamo un insieme ![]() ed una relazione ![]() Tale relazione è effettivamente una relazione d'ordine, infatti gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Dimostriamolo! Riflessività: consideriamo un elemento Dobbiamo far vedere che ovvero che il che è indubbiamente vero. La nostra relazione è quindi riflessiva. Se il problema mi avesse assegnato Se la relazione fosse stata definita nel seguente modo: ![]() allora no, la relazione non sarebbe stata riflessiva. Torniamo ora a noi. Antisimmetria: prendiamo ora due elementi di S. Supponendo che ![]() dobbiamo dimostrare che: Ora: ![]() mentre: ![]() Da cui segue che: ovvero: che è proprio quello che volevamo provare. Transitività: siano Affinché la nostra relazione sia transitiva, supponendo che: dobbiamo dimostrare che: Ora, da segue che mentre da si ha Ovvero, mettendo insieme i due risultati: e La relazione è quindi transitiva e di conseguenza è una relazione d'ordine. ------------- Rimane da stabilire se è una relazione d'ordine totale. Una relazione è d'ordine totale se, presi due qualsiasi di elementi di S, essi sono sempre confrontabili mediante la relazione, ovvero se: sono due elementi di S, allora: ![]() Tale proprietà non è, evidentemente, soddisfatta! Prendi ad esempio Essendo i due elementi non sono confrontabili tramite la relazione la quale quindi, pur essendo una relazione d'ordine, non è di ordine totale. |
Ringraziano: Omega, CarFaby, mori800, darkfog |
Relazione d'ordine o di equivalenza? #71588
![]() mori800 Punto | Riguardo all'esercizio: è evidente che non ho saputo focalizzarmi al meglio su ciò che era opportuno dimostrare ![]() Ma un dubbio permane e riguarda la dimostrazione dell' antisimmetria. Io, dalla traccia, so che ![]() Come arrivo a dire che, per essere antisimmetrica si deve verificare che Cioè, questa nuova posizione che faccio è dovuta alla tesi stessa dell' antisimmetria ( Farò comunque altri esercizi sulla base della tua spiegazione e dovrò riguardare quelli già fatto prima di leggerla. Grazie tanto per la risposta! |
Relazione d'ordine o di equivalenza? #71593
![]() Galois Amministratore | Per quanto riguarda l'antisimmetria della relazione (che ti sta creando problemi) è bene rivedere la definizione di relazione antisimmetrica. Preso un insieme ![]() Cioè per dimostrare che una relazione (definita su un insieme) è antisimmetrica dobbiamo considerare due suoi generici elementi e supporre che il primo sia in relazione col secondo ed il secondo col primo. A questo punto, sfruttando le proprietà della relazione, dobbiamo vedere se i due elementi coincidono. Se è così la relazione è antisimmetrica altrimenti no. Tornando al nostro insieme e supponiamo, cioè assumiamo che: (cioè che il primo elemento è in relazione con il secondo) e cioè il secondo è in relazione con il primo. Tenendo presente questo dobbiamo vedere se i due elementi coincidono, cioè se: Come lo facciamo? Sfruttando quello che abbiamo supposto! Poiché: per com'è definita la nostra relazione si ha: Ancora, avendo supposto che si ha Mettendo insieme (1) e (2) abbiamo: e da cui, ovviamente: Da cui ne segue che: cioè i due elementi coincidono e quindi la relazione è antisimmetrica. |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, mori800 |
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