Relazione d'ordine o di equivalenza?

Salve, posto un esercizio che chiede di stabilire se una data relazione binaria è una relazione d'ordine o di equivalenza.

Premetto che grazie a YM sono riuscito a migliorare la cultura (blanda) sulle relazioni binarie che i vari testi di algebra che finora avevo consultato mi avevano permesso di acquisire.Tuttavia vorrei verificare alcune risoluzioni cui sto giungendo.
Spero di non rubare troppo tempo.

Allora, l'esercizio in questione è: nell'insieme



si consideri la relazione binaria definita dalla posizione ed una relazione sugli elementi di S definita da:



Stabilire se R è una relazione d'ordine o d'equivalenza.


Io ho proceduto così

- Riflessiva: la prima è immediatamente verificata, la seconda è vera perché .

[Piccola nota: se il problema mi avesse assegnato la proprietà riflessiva non sarebbe stata verificata, giusto?]

- Antisimmetrica:

immediatamente verificata;

.

- Transitiva: considerati due elementi di



e



La relazione è d'ordine.

Aggiungerei che è anche totale perché l'uguaglianza della condizione 1 è sempre verificata mentre la disuguaglianza della condizione 2 prevederebbe per tutti gli elementi vera per , o no?

Grazie

Ciao Mori800

Dal tuo procedimento noto che fai un po' di confusione tra quali sono le ipotesi e su quello che effettivamente devi dimostrare. Detto questo, procediamo

Abbiamo un insieme



ed una relazione sugli elementi di S definita da:



Tale relazione è effettivamente una relazione d'ordine, infatti gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Dimostriamolo!

Riflessività: consideriamo un elemento .

Dobbiamo far vedere che



ovvero che



il che è indubbiamente vero. La nostra relazione è quindi riflessiva.



Se la relazione fosse stata definita nel seguente modo:



allora no, la relazione non sarebbe stata riflessiva. Torniamo ora a noi.

Antisimmetria: prendiamo ora due elementi



di S.

Supponendo che



dobbiamo dimostrare che:



Ora:



mentre:



Da cui segue che:



ovvero:



che è proprio quello che volevamo provare.

Transitività: siano tre elementi di S.

Affinché la nostra relazione sia transitiva, supponendo che:



dobbiamo dimostrare che:



Ora, da



segue che



mentre da



si ha



Ovvero, mettendo insieme i due risultati:



e

.

La relazione è quindi transitiva e di conseguenza è una relazione d'ordine.

-------------

Rimane da stabilire se è una relazione d'ordine totale.

Una relazione è d'ordine totale se, presi due qualsiasi di elementi di S, essi sono sempre confrontabili mediante la relazione, ovvero se:



sono due elementi di S, allora:



Tale proprietà non è, evidentemente, soddisfatta!

Prendi ad esempio

Essendo

i due elementi non sono confrontabili tramite la relazione la quale quindi, pur essendo una relazione d'ordine, non è di ordine totale.

Riguardo all'esercizio: è evidente che non ho saputo focalizzarmi al meglio su ciò che era opportuno dimostrare

Ma un dubbio permane e riguarda la dimostrazione dell' antisimmetria. Io, dalla traccia, so che

.

Come arrivo a dire che, per essere antisimmetrica si deve verificare che

?

Cioè, questa nuova posizione che faccio è dovuta alla tesi stessa dell' antisimmetria ()?

Farò comunque altri esercizi sulla base della tua spiegazione e dovrò riguardare quelli già fatto prima di leggerla. Grazie tanto per la risposta!

Per quanto riguarda l'antisimmetria della relazione (che ti sta creando problemi) è bene rivedere la definizione di relazione antisimmetrica.

Preso un insieme e detti due suoi elementi, diremo che una relazione definita su è antisimmetrica se e solo se:



Cioè per dimostrare che una relazione (definita su un insieme) è antisimmetrica dobbiamo considerare due suoi generici elementi e supporre che il primo sia in relazione col secondo ed il secondo col primo.

A questo punto, sfruttando le proprietà della relazione, dobbiamo vedere se i due elementi coincidono. Se è così la relazione è antisimmetrica altrimenti no.

Tornando al nostro insieme ed alla nostra relazione per vedere se è antisimmetrica prendiamo due elementi di S



e supponiamo, cioè assumiamo che:



(cioè che il primo elemento è in relazione con il secondo)

e



cioè il secondo è in relazione con il primo.

Tenendo presente questo dobbiamo vedere se i due elementi coincidono, cioè se:



Come lo facciamo? Sfruttando quello che abbiamo supposto!

Poiché:



per com'è definita la nostra relazione si ha:



Ancora, avendo supposto che



si ha



Mettendo insieme (1) e (2) abbiamo:



e



da cui, ovviamente:



Da cui ne segue che:



cioè i due elementi coincidono e quindi la relazione è antisimmetrica.