Una dimostrazione con il principio di induzione

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Una dimostrazione con il principio di induzione #71189

avt
Carolum83
Punto
Ciao a tutti. Vorrei proporre di seguito una dimostrazione che trovai tempo fa, da effettuare utilizzando il principio di induzione! Ho un'idea che reputo logicamente ineccepibile, ma non conduce ad una conclusione immediata. Ecco il testo:

Siano dati n numeri positivi x_{1},x_{2},...,x_{n} tali che \prod_{1}^{n}x_{i}= 1.

Utilizzando il principio di induzione, dimostrare che allora risulta

\sum_{1}^{n}x_{i}\geqslant n

e che

\sum_{1}^{n}x_{i}= n\Longleftrightarrow x_{1}= x_{2}= ...= x_{n}= 1


Traccia di soluzione


Verifica del caso base. Per n=2, posto x_{1}= y si ha

x_{1}\cdot x_{2}=1\Longrightarrowx_{2}=x^{-1}

Da ciò consegue che la tesi è verificata se risulta essere

x+\frac{1}{x}\geq 2

ossia

\frac{x^{2}-2x+1}{x}\geq 0 per x> 0

che è di immediata verifica

Analisi del caso n-esimo. Dobbiamo dimostrare che la verità del caso n (ipotesi induttiva) implica la verità del caso n+1 (tesi).

Supponiamo pertanto vera l'ipotesi induttiva. Consideriamo un altro numero positivo x_{n+1}. Se tale numero è pari a 1 la tesi è dimostrata.

Consideriamo il caso x_{n+1}\neq 1. Per poter applicare l'ipotesi dobbiamo considerare un altro numero x_{n+2}=\frac{1}{x_{n+1}}.

x_{n+1}\cdot x_{n+2}=1\Longrightarrow  x_{n+1}+x_{n+2}\geq 2

Considerando la sommatoria totale

\sum_{1}^{n+2}x_{i}=\sum_{1}^{n}x_{i}+x_{n+1}+x_{n+2}\geq n+2

e viene dimostrata la implicazione. La verità del caso n implica la verità del caso n+2!

Che ne dite?
Grazie.
 
 

Re: Una dimostrazione con il principio di induzione #71203

avt
Galois
Amministratore
Ciao Carolum83 emt

Abbiamo n numeri positivi: x_1, \ x_2, \ \cdots, \ x_n tali che:

\prod_{i=1}^{n}x_i=1

e dobbiamo dimostrare utilizzando il principio di induzione che:

\sum_{i=1}^{n}{x_i} \ge n \ \mbox{e} \ \sum_{i=1}^{n}{x_i}=n \iff x_i=1 \ \forall i \in \{1,2,...n\}

-------------

Base di induzione : perché parti da n=2 ? Visto che la proprietà da dimostrare considera n numeri positivi, con n \ge 1, la base di induzione andrà dimostrata per n=1.

Ora,

\prod_{i=1}^{{\color{red}1}}x_i (= x_1) = 1

ovvero per ipotesi sappiamo che x_1=1

da cui segue, banalmente la tesi.

Passo induttivo: consideriamo la tesi vera per n, ovvero supponiamo che valga:

\prod_{i=1}^{n}x_i=1 \ \Rightarrow \ \sum_{i=1}^{n}{x_i} \ge n \ \mbox{e} \ \sum_{i=1}^{n}{x_i}=n \iff x_i=1 \ \forall i \in \{1,2,...n\}

e dimostriamola per n+1, ovvero supponendo che:

\prod_{i=1}^{{\color{red}n+1}}x_i=1

dobbiamo dimostrare che vale:

\sum_{i=1}^{{\color{red}n+1}}{x_i} \ge {\color{red}n+1} \ \mbox{e} \ \sum_{i=1}^{{\color{red}n+1}}{x_i}={\color{red}n+1} \iff x_i=1 \ \forall i \in \{1,2,...{\color{red}n+1}\}

Ora:

\prod_{i=1}^{{\color{red}n+1}}x_i=1 \iff \left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right) \cdot x_{n+1} = 1 \iff

(per ipotesi induttiva)

\iff 1 \cdot x_{n+1}=1 \iff x_{n+1}=1

Pertanto:

\sum_{i=1}^{{\color{red}n+1}}{x_i} = \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)}_{\ge n}+\underbrace{x_{n+1}}_{=1} \ge n+1

e

\sum_{i=1}^{{\color{red}n+1}}{x_i} = \left(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)+x_{n+1}=n+1 \iff x_i=1 \ \forall i \in \{1,2,...n+1\}

E questo conclude la nostra dimostrazione.

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Piccole osservazioni sulle cose da te affermate:


Supponiamo pertanto vera l'ipotesi induttiva. Consideriamo un altro numero positivo  x_{n+1}. Se tale numero è pari a 1 la tesi è dimostrata.

Consideriamo il caso x_{n+1}\neq 1.

Per poter applicare l'ipotesi dobbiamo considerare un altro numero

x_{n+2}=\frac{1}{x_{n+1}}


È proprio questo ragionamento che ti crea confusione.

Il principio di induzione è molto meccanico:

1) verifica del passo base;

2) suppongo la tesi vera per n;

3) la dimostro per n+1.

Ovvero, in linea di massima, non devi fare ulteriori supposizioni in mezzo emt

In questa dimostrazione ruotava infatti tutto intorno al fatto che se ho n numeri positivi il cui prodotto è 1 e ne aggiungo l'(n+1)-esimo questo deve essere necessariamente 1 con tutte le conseguenze del caso.

Lo so, è un'osservazione banale ma se noti noi lo abbiamo fatto vedere rigorosamente sfruttando l'ipotesi induttiva.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Carolum83
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