Dimostrazione: radice di 2 è irrazionale

Salve ragazzi, rileggendo gli appunti non ho capito la dimostrazione del fatto che radice di 2 è irrazionale, che viene svolta dal professore per assurdo. Non sono riuscito a trovarla altrove quindi posto quello che sono riuscito ad appuntare sperando che si capisca qualcosa...

Suppongo che ; ridotta ai minimi termini, da cui



e quindi

Fin qui tutto ok, è banale. A questo punto ci sono tre ipotesi: se è pari posso considerarlo come



allora



E quindi?

Stessa cosa per l'ipotesi di pari e per quella di dispari.

Ciao Gigi

Può darsi che i tuoi appunti siano incompleti e/o errati? Può capitare...

Ad ogni modo puoi trovare non una, ma ben due dimostrazioni del fatto che radice di 2 è irrazionale qui: dimostrare che radice di 2 non è razionale.

Se hai dubbi relativi alle dimostrazioni proposte in quel topic, sei libero di postarle là in risposta.

Si scusa, ho dimenticato di specificare che gli appunti sono incompleti.
Rimasi un attimo perplesso e non ho avuto il tempo di ricopiare il resto..
Le due dimostrazioni che mi hai indicato, leggendole velocemente mi sembrano chiare.
Avrei voluto delucidazioni su questa, gira voce che la prof pretende le dimostrazioni così come le spiega...

Altra info, leggendo bene dice che con n diverso da 0

Ciao 69GiGi96

Per dimostrare l'irrazionalità della radice di 2, hai supposto per assurdo che sia un numero razionale, ovvero che può essere scritto come:



con

ed frazione ridotta ai minimi termini.

A questo punto, segue, banalmente che:



e quindi



Fin qui non ci piove.

Ora, oltre alle due dimostrazioni proposte nel topic linkato da Omega posso proportene un'altra.

Dall'uguaglianza

ricaviamo, immediatamente, che è pari, da cui segue che anche è pari ed il motivo è presto detto.

Visto infatti che il prodotto di due numeri dispari è dispari, se fosse dispari si avrebbe:



ma abbiamo visto che deve essere pari.

A questo punto, essendo un numero pari, lo possiamo scrivere come:



e, conseguentemente:



Inserendo questa uguaglianza in (*) abbiamo:



da cui, dividendo per 2:



il che dimostra che anche (e quindi ) è pari.

Cadiamo così in un assurdo! Infatti, essendo due numeri pari, la frazione



non è più irriducibile (ovvero non è ridotta ai minimi termini)

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Personalmente non vedo la necessità di distinguere i casi

pari ed dispari

Inoltre, quello che scrivi, non è corretto.



è falso! Prendiamo



è un numero dispari, e lo abbiamo scritto nella forma



con

Stesso discorso quando scrivi



Come fa (frazione irriducibile) ad essere un numero dispari?

Se non cerchi di essere più chiaro, purtroppo, è impossibile venirti incontro

Anche questa dimostrazione (come sempre su youmath) mi è chiarissima, ma ho come l'impressione che non sia nemmeno questa.

[Edit]Come da linee guida è stato tolta l'immagine che non può essere sostitutiva del testo[/Edit]

Comunque chiedo scusa, ho fatto un macello con il LaTex

Se n è pari posso considerarlo come:

e non

come avevo erroneamente scritto


Inoltre l'altra ipotesi era che sia m che n siano due numeri dispari. Ma anche qui ho fatto un altro macello con i comandi

Grazie a tutti per l'attenzione

Rieccoci qua

Come hai potuto notare ci sono svariati modi per dimostrare l'irrazionalità della radice di 2. Con i presupposti (questa volta corretti) che hai fatto vediamo una quarta dimostrazione, con l'augurio che, questa volta, sia quella scelta dalla tua docente

Supponendo sempre, per assurdo, di poter scrivere come:



con

ed frazione ridotta ai minimi termini.

Arriviamo, elevando al quadrato, all'ugualgianza:



ovvero:



Ora, supponiamo che:

n sia pari

Come numero pari, n sarà un numero della forma:



Ne segue che:



Allora



Cadiamo qui in un assurdo!

Infatti è, necessariamente, un numero dispari (in quanto ottenuto da un numero pari (2p) a cui è stato aggiunto 1.

Conseguentemente non è un quadrato perfetto da cui segue che non potrà essere un numero naturale, così come supposto inizialmente.

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Se m è pari allora:



Ne segue che:



Ora, essendo si ha che:



e quindi



Anche qui l'assurdo dovuto al fatto che, essendo , un numero dispari, non è un quadrato perfetto e conseguentemente non sarà un numero naturale.

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Se m è dispari lo possiamo scrivere nella forma



Allora



Conseguentemente, essendo , si ha:



il quale, per com'è scritto, è un numero dispari.

Ragion per cui, (e quindi ) non sarà un numero intero (poiché si ottiene dividendo per 2 un numero dispari)

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Stesso identico discorso supponendo che n sia dispari e che conclude tutti i casi possibili.

Sisisi è questa!!! Grazieee

Bene, son contento

Prego!