L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini

Ciao a tutti, non so come si fa dimostrare che l'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle immagini dei singoli insiemi, e cioè che



Il problema e che non so proprio come iniziare. Grazie.

Ciao Toro,

anche se la categoria che hai scelto per questa discussione è accettabile, preferirei spostarla sotto Algebra.

Suppongo che l'applicazione di cui tratta la tua domanda sia una funzione tra due insiemi generici: con .

Vuoi dimostrare che l'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini.

La tecnica prevede di considerare un elemento arbitrario e di dimostrare che tale elemento appartiene all'intersezione delle immagini:



fatto ciò la tesi sarà dimostrata proprio per l'arbitrarietà dell'elemento .


Richiamiamo la definizione di immagine di un'applicazione :




Dato che per ipotesi , ciò implica per definizione di immagine che esiste tale che .

Per definizione di intersezione tra due insiemi, se appartiene all'intersezione allora deve appartenere ad entrambi gli iniemi



di conseguenza e .

D'altra parte è proprio , quindi abbiamo dimostrato che e e in sintesi



Dall'arbitrarietà dell'elemento scelto inizialmente, segue la tesi

.

Grazie.

Posso postare un altro esercizio simile per vedere se ho capito ?

Certamente ma non qui, in un nuovo topic.