L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini

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L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini #64754

avt
Toro
Punto
Ciao a tutti, non so come si fa dimostrare che l'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle immagini dei singoli insiemi, e cioè che

 f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)

Il problema e che non so proprio come iniziare. Grazie.
 
 

L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini #64759

avt
Omega
Amministratore
Ciao Toro,

anche se la categoria che hai scelto per questa discussione è accettabile, preferirei spostarla sotto Algebra.

Suppongo che l'applicazione f di cui tratta la tua domanda sia una funzione tra due insiemi generici: f:X\to Y con X_1,X_2\subseteq X.

Vuoi dimostrare che l'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini.

La tecnica prevede di considerare un elemento arbitrario y\in f(X_1\cap X_2) e di dimostrare che tale elemento appartiene all'intersezione delle immagini: y\in f(X_1)\cap f(X_2)

y\in f(X_1\cap X_2)\ \Rightarrow\ }y\in f(X_1)\cap f(X_2)

fatto ciò la tesi sarà dimostrata proprio per l'arbitrarietà dell'elemento y.


Richiamiamo la definizione di immagine f(X) di un'applicazione f:X\to Y:

f(X)=\{y\in Y\mbox{ t.c. }\exists x\in X\mbox{ per cui }f(x)=y\}


Dato che per ipotesi y\in f(X_1\cap X_2), ciò implica per definizione di immagine che esiste x\in X_1\cap X_2 tale che f(x)=y.

Per definizione di intersezione tra due insiemi, se x appartiene all'intersezione allora deve appartenere ad entrambi gli iniemi

x\in X_1\cap X_2\ \Rightarrow\ x\in X_1,\ x\in X_2

di conseguenza f(x)\in f(X_1) e f(x)\in f(X_2).

D'altra parte f(x) è proprio y, quindi abbiamo dimostrato che y\in f(X_1) e y\in f(X_2) e in sintesi

y\in f(X_1),\ y\in f(X_2)\ \Rightarrow\ y\in f(X_1)\cap f(X_2)

Dall'arbitrarietà dell'elemento scelto inizialmente, segue la tesi

f(X_1\cap X_2)\subseteq f(X_1)\cap f(X_2).
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby

L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini #64761

avt
Toro
Punto
Grazie.

Posso postare un altro esercizio simile per vedere se ho capito ?

L'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini #64765

avt
Omega
Amministratore
Certamente emt ma non qui, in un nuovo topic.
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Os