Quoziente e resto di polinomi in Zn

Ciao a tutti! Non riesco a comprendere questo esercizio sul quoziente e sul resto di polinomi in Zn, mi potete aiutare?

Siano

con p(x), q(x) appartenenti all'insieme . E' possibile calcolare il quoziente e resto del rapporto p(x)/q(x)? Perché? in caso affermativo, svolgere il calcolo.

Dalla divisione tra i due polinomi ottengo il risultato . Il resto è .

A questo punto come mi comporto?

Come fa il quoziente finale ad essere ? (Soluzione dell'esercizio)

Quello che non capisco è:

- in che modo utilizzo i risultati ottenuti dalla divisione dei due polinomi?

- come faccio a trovare gli inversi nell'insieme? Il procedimento non mi è chiaro.

Grazie ancora in anticipo!

Ciao Monimela

Procediamo con ordine.

Proprio come accade in dove il Teorema della divisione euclidea ci assicura l'esistenza e l'unicità di quoziente e resto tra due numeri interi, esiste un Teorema che ci garantisce l'esistenza di quoziente e resto della divisione tra due polinomi ed è il seguente:

Sia un campo.

Per ogni esistono due polinomi:

tali che

con grado[r(x)] < grado[b(x)]. Inoltre q(x) e r(x) sono unici.

Ora, noi abbiamo due polinomi a coefficienti in che sappiamo essere un campo in quanto 19 è un numero primo. Siamo quindi sicuri dell'esistenza di quoziente e resto della divisione tra i due polinomi:

Eseguiamola! Prima di procedere, dobbiamo ricordare che stiamo lavorando, appunto in ovvero con le classi di resto modulo 19. Per intenderci con le classi di equivalenza i cui rappresentanti sono:

cioè, per dirla in "maniera sporca" ogni numero maggiore o uguale a 19 dovrà essere ricondotto ad una di tali classi.

Ad esempio

In quanto:

Chiarito questo vediamo come eseguire la divisione:

Iniziamo con disporre i termini in colonna, proprio come si procede nella divisione tra polinomi in :

Ora, che dobbiamo fare?

Dobbiamo trovare quel termine che moltiplicato per ci da come risultato

Ovviamente la x sarà elevata al quadrato. Non ci rimane altro da fare se non trovare il suo coefficiente (lo chiamo ).

Ricordando che stiamo lavorando in non possiamo utilizzare frazioni! Dobbiamo quindi procedere con le congruenze. Cioè dobbiamo, ripeto, trovare quel numero che moltiplicato per 2 ci da 3, cioè:

Per trovarlo, moltiplichiamo ambo i membri per l'inverso moltiplicativo di 2 (modulo 19) che è 10, in quanto:

cioè, (così rispondo anche all'altra tua domanda) l'inverso moltiplicativo di un numero modulo n è quel numero tale che:

Come si fa a trovarlo? Basta solo un po' di pratica e soprattutto occhio. Male che vada si procede per tentativi! Tanto, ricorda, stiamo lavorando in insiemi che hanno un numero finito di elementi.. nel nostro specifico caso 19.

Tornando a noi, avendo trovato che 10 è l'inverso di 2 modulo 19, moltiplicando in

ambo i membri per 10 si ha:

Ovvero:

Pertanto il primo termine del quoziente sarà o meglio (visto che stiamo lavorando con classi)

In definitiva, facendo i conti:

Ora, stesso ragionamento di prima: dobbiamo trovare quel termine tale che moltiplicato per 2x^2 ci dia 6x^2

Qua, senza fare mille giri, tale termine è direttamente 3. Abbiamo quindi:

Ovvero

Sempre in !

Facciamo la verifica:

in quanto