Esistenza delle soluzioni di un sistemi di congruenze lineari

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Esistenza delle soluzioni di un sistemi di congruenze lineari #64119

avt
Fabio93
Cerchio
Ciao ragazzi, volevo una conferma riguardo all'esistenza delle soluzioni dei sistemi di congruenze lineari. In un esercizio ho i seguenti sistemi di congruenze lineari:

1)\begin{cases}& \text{} x\equiv2\ {}(mod\ {}5)  \\ & \text{} x\equiv0\ {}(mod\ {}3)  \\ & \text{} x\equiv1\ {}(mod\ {6})  \end{cases}

2)\begin{cases}& \text{} 24x\equiv 5\ {}(mod\ {}6) \\ & \text{} 7x\equiv16\ {}(mod \ {}3) \end{cases}

Ovviamente, prima di provare a risolverli, devo verificare se essi ammettono soluzioni.
Mi interessa sapere se i procedimenti(e possibilmente anche i calcoli) che eseguo di seguito sono corretti o no.


1)\begin{cases}& \text{} x\equiv2\ {}(mod\ {}5)  \\ & \text{} x\equiv0\ {}(mod\ {}3)  \\ & \text{} x\equiv1\ {}(mod\ {6})  \end{cases}

Il seguente sistema ammette soluzioni se e solo se

(n_{i},n_{j})|a_{i}-a_{j}\ {}\ {}\mathcal8i,j\ {} \mathcal2\left \{ 1,2,3 \right \}, i\neq j

dove, ponendo

a=(n_{i}, n_{j}),\ {} \ {}b=a_{i}-a_{j}\ {} \ {} a,b\ {}\mathcal2\ {}Z

si ha

a|b \Leftrightarrow\ {}\mathcal9c\ {} \mathcal2\ {}Z:b=ac.

Ponendo nell'esercizio

a_{1}=2,\ {} a_{2}=0,\ {}a_{3}=1

n_{1}=5,\ {} n_{2}=3,\ {}n_{3}=6

si ha

\left ( n_{1},n_{2} \right )|a_{1}-a_{2}\ {} \Rightarrow \left ( 5,3 \right )|2-0\ {} \Rightarrow 1|2 \Rightarrow Si

\left ( n_{1},n_{3} \right )|a_{1}-a_{3}\ {} \Rightarrow \left ( 5,6 \right )|2-1\ {} \Rightarrow 1|1 \Rightarrow Si

\left ( n_{2},n_{3} \right )|a_{2}-a_{3}\ {} \Rightarrow\left ( 3,6 \right )|0-1\ {} \Rightarrow 3|1 \Rightarrow No

Il sistema dato quindi non ammette soluzioni.

2)\begin{cases}& \text{} 24x\equiv 5\ {}(mod\ {}6) \\ & \text{} 7x\equiv16\ {}(mod \ {}3) \end{cases}

Pensavo di verificare se ogni singola congruenza ammette soluzioni (so come fare emt ) e quindi, in caso positivo passare a determinare la soluzione.
Tutto ok ? emt
 
 

Esistenza delle soluzioni di un sistemi di congruenze lineari #64137

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Fabio93 emt

Discussione e ragionamento fatto per il primo sistema perfetta! Il sistema di congruenze non ammette soluzione.

Per quanto riguarda il sistema puoi giungere immediatamente alla stessa conclusione, infatti, ricordando che una congruenza lineare:

ax \equiv b \ mod(n)

ammette soluzione se e solo se b è un multiplo del massimo comun divisore tra a e n, prendendo in esame la congruenza lineare:

24x \equiv 5 \ mod \ 6

poiché:

6=(24,6) \not{|} \ 5

la congruenza e quindi tutto il sistema non ammette soluzioni emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Esistenza delle soluzioni di un sistemi di congruenze lineari #64148

avt
Fabio93
Cerchio
Ok grazie emt
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Os