Operazione che verifica la proprietà di chiusura

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Operazione che verifica la proprietà di chiusura #63958

avt
Monimela
Punto
Ciao a tutti! Avrei bisogno di un enorme aiuto: non riesco a capire come devo dimostrare la chiusura di una operazione su un insieme.

Sto studiando le strutture algebriche, quindi gruppi, sottogruppi ecc...
Fino alla teoria riesco a capire tutto dai libri (e sì, anche grazie all'aiuto di questo magnifico sito), ma mi sono trovata in difficoltà nello svolgere gli esercizi.

Praticamente, in parole spicce, come devo agire sugli esercizi?

Per esempio: dato un insieme R^* \times R con un'operazione * definita cosi:

(a,b) * (c, d) = (ac, ad + b/c)

Trovo scritto nell'esercizio svolto che - ac appartiene a R^* (se avessi avuto ab non avrebbe funzionato perché b potrebbe essere uguale a 0).

- ad + b/c \in R

Sinceramente nulla di quello scritto sopra riguardo la chiusura è farina del mio sacco. Qualcuno mi può aiutare a capire?
 
 

Operazione che verifica la proprietà di chiusura #63990

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Monimela emt

In generale, un'operazione * definita su un insieme non vuoto S si dice chiusa o che verifica la proprietà di chiusura se:

\forall s_1,s_2 \in S, \ s_1 * s_2 \in S

ovvero se essa è interna all'insieme S. Per capirci meglio:

consideriamo l'insieme \mathbb{N} dei numeri naturali. L'addizione è un'operazione interna in quanto comunque presi due numeri naturali la loro somma è ancora un numero naturale. Si dice quindi che l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'addizione.

La sottrazione invece non è un'operazione interna ad \mathbb{N} in quanto sottraendo due numeri naturali, nel caso in cui il minuendo fosse minore del sottraendo avrei, dalla sottrazione, un numero negativo e quindi "uscirei fuori" dall'insieme di partenza.

Chiarito questo vediamo come procedere nel tuo esercizio.

Detti:

R un generico insieme non vuoto,

R^* l'insieme R privato dello zero,

R^* \times R il prodotto cartesiano tra i due insiemi, ovvero l'insieme delle coppie ordinate

(a,b) \ \mbox{tali che} \ a \in R^*, \ b \in R

* l'operazione così definita:

^*: R^* \to R, \ (a,b) ^* (c,d) \mapsto (ac, \ ad+b/c)

Dobbiamo dimostrare che * è un'operazione interna a R^* \times R


Chiariamo bene cos'è (ac, \ ad+b/c)

è il risultato dell'operazione * tra le due coppie ordinate (a,b) e (c,d).

Quindi affinché * verifichi la proprietà di chiusura dobbiamo assicurarci che

(ac, \ ad+b/c)

appartenga a R^* \times R

cioè che (per definizione di coppia ordinata):

ac \in R^* \ \mbox{e} \ ad+b/c \in R

Ora che dovrebbe essere chiaro cosa dobbiamo fare, procediamo! emt

Poiché (a,b) e (c,d) sono elementi di R^* \times R per definizione di coppia ordinata prima vista:

a \in R^*, \ b\in R, \ c \in R^*, \ d \in R

ne segue che, di sicuro, a e c sono diversi da zero in quanto R* non contiene lo zero.

Allora di sicuro l'elemento ac apparterrà ad R* in quanto prodotto tra due elementi entrambi diversi da zero.

Inoltre ad+b/c apparterrà di sicuro ad R. Perché?

L'unico elemento che potrebbe creare problemi è quel b/c, in quanto abbiamo una c come denominatore. Ma poiché c è un elemento di R* è sicuramente diverso da zero. Non vi sono quindi problemi di sorta emt

Possiamo quindi concludere che la coppia ordinata

(ac, ad+b/c) è un elemento di R^* \times R ovvero * è interna al suo insieme di definizione e questo prova la chiusura emt

Piccola osservazione: come ben scritto nei tuoi appunti: se * fosse stata definita nel modo seguente:

^*: R^* \to R, \ (a,b) ^* (c,d) \mapsto (ab, \ ad+b/c)

non saremmo potuti giungere allo stesso risultato, in quanto, poiché b è un elemento di R, esso sarebbe anche potuto essere zero e quindi l'elemento prodotto ab potrebbe essere zero e di conseguenza non appartenere ad R*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Monimela
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Os