Semigruppo commutativo regolare unitario è fattoriale se e solo se...

Un semigruppo commutativo regolare unitario è fattoriale se e solo se ogni elemento non invertibile è irriducibile o prodotto di elementi irriducibili e ogni elemento irriducibile è primo.


Sia un semigruppo commutativo regolare unitario.
La prima parte è vera per definizione di semigruppo fattoriale, bisogna solo dimostrare che ogni elemento irriducibile è primo.

In particolare nella dimostrazione ho che se è irriducibile considero tali che , allora esiste tale che
Dopo aver valutato separatamente i casi in cui sono invertibili ho che nel primo caso , nel secondo .


Siano allora non invertibili.

Allora e sono prodotto di elementi irriducibili di




allora se è invertibile allora è associato ad e è irriducibile.


Se non è invertibile allora è prodotto di elementi irriducibili di e uno dei fattori coincide con .

Allora poiché ogni decomposizione è unica:

per qualche e poichè per ogni allora

oppure

per qualche e poichè per ogni allora



Quello che non mi è chiaro è come il fatto che la decomposizione è unica implichi che o , qualcuno sa aiutarmi?

Ciao dankara

A quanto ho capito il tuo dubbio sta nel dimostrare che ogni elemento irriducibile del semigruppo S (commutativo, unitario e fattoriale) è primo.

Ricordiamo innanzitutto la definizione di elemento primo.

è un elemento primo se e solo se: allora

Tu sei arrivata a dire che:



dove





con

elementi irriducibili di S

Allora abbiamo che:



Ora:



è un prodotto di elementi irriducibili e visto che S è fattoriale tale decomposizione è unica.

Cosa vuol dire? Che se abbiamo un'altra decomposizione in elementi irriducibili dello stesso elemento allora il numero degli elementi è uguale e c'è una corrispondenza biunivoca, quindi se:



è una decomposizione di x in elementi irriducibili abbiamo che:



e, per l'unicità della decomposizione (per quanto prima detto):

e l'irriducibile a è associato o a qualche con o a qualche con

Da cui si ha che, nel primo caso:

(per qualche i) e quindi

oppure

(per qualche j) e quindi

da cui l'asserto: a è primo

Grazie mille, è tutto chiarissimo