Equazione congruenziale modulo 10

Salve, non riesco a risolvere questa equazione congruenziale modulo 10:



dopo aver trovato il massimo comune divisore (2) divido tutto per 2 e trovo



da questo trovo il massimo comune divisore che è 1 quindi risolvo l'equazione



la trovo per e moltiplico 1 per 7 e ottengo



ma è sbagliata perché?

Ciao GPEPPE69

Dobbiamo risolvere l'equazione congruenziale:



Ci sei quasi.. vediamo un po'

Innanzitutto dobbiamo vedere se ammette o meno soluzioni.

Poiché (12,10)=2 divide 14 l'equazione ammette soluzione.

Con (12,10) indico il massimo comun divisore tra 12 e 10.

Ora, la nostra equazione equivale a:



L'inverso aritmetico di 6 modulo 5 è 1, infatti:



Allora, è equivalente a

cioé

Pertanto le soluzioni sono date da:

scusa ma la congruenza e e non

Ciao, la congruenza che Galois ha risolto è



l'ha semplicemente scritta nella forma



che è una notazione del tutto equivalente.

a ok, ma non ho capito come calcolare l'inverso aritmetico e se devo scrivere il risultato

nella forma normale sarà ?

Rieccoci qua

dalle domande che fai risulta evidente che non hai ben chiaro il concetto di congruenza.

Il che è abbastanza grave visto che ti stai apprestando a risolvere equazioni congruenziali.

Siano e sia

Diremo che

Ora, dobbiamo risolvere l'equazione congruenziale:



che, nel precedente post, abbiamo visto che ammette soluzione e che possiamo scrivere come:



che è come scrivere:



dove, in generale, la scrittura:

indica le classi di equivalenza modulo n, ovvero gli elementi di tale classe saranno degli interi tali che

Ora, poiché: la nostra equazione congruenziale possiamo scriverla come:



o, con le classi:



Come si risolve?

Dobbiamo cercare quel numero che sia l'inverso di 6 in , in modo da poter moltiplicare a destra e a sinistra per quel numero e ottenere quindi

x=qualcosa (modulo 5)

Cosa vuol dire "inverso moltiplicativo" di modulo ?

Vuol dire trovare quel numero x tale che

Tornando al nostro esercizio, proprio per definizione di congruenza e di classe di equivalenza prima viste, tale x da ricercare sarà un numero compreso tra 0 e 4 o tra 1 e 5, quindi le strade da seguire sono due:

- procedi per tentativi

- procedi con l'algoritmo di Bezout

Primo metodo (per tentativi)

non ci vuole un genio per vedere che (ti rimando alla definizione di congruenza vista all'inizio.

Pertanto il nostro x è proprio la classe dell'uno (modulo n)

Come prima detto non ci rimane altro da fare se non moltiplicare a destra e sinistra per quel numero (in questo caso 1 o 6 - modulo 5 sono la stessa cosa) e ottenere:



Pertanto la famiglia delle soluzioni sarà:




Procedendo con l'algoritmo di Bezout:

Sappiamo che mcd(6,5)=1. Pertanto esistono gli interi x e y tali che:



il che equivale a dire che , ovvero, per definizione di congruenza:



Cioè l'x dell'algoritmo sarà l'inverso cercato. Come si trova (se non vogliamo procedere per tentativi)?

Eseguiamo la divisione con resto fra 6 e 5:



da cui



da cui si ha che (il nostro inverso moltiplicativo) e (non ci serve a nulla)

Morale della favola siamo sempre là

grazie per la tua spiegazione, ma non ho capito il metodo per tentativi anche perchè utilizzo

sempre l'altro, poi non riesco a capire dopo aver trovato l'inverso che in questo caso era 1 per

cosa viene moltiplicato ? dato che si ottiene

Il metodo "per tentativi", poiché, come ti ho detto, l'inverso moltiplicativo x di 6 modulo 5, è un numero compreso tra 0 e 4 (o tra 1 e 5), ti basta procedere appunto per tentativi e sostituire al posto della x i valori 1,2,3,4,5 in



finché non trovi un'uguaglianza vera. In questo caso sostituendo 1 la precedente congruenza è verificata e quindi 1 è proprio l'inverso moltiplicativo di 6 modulo 5.



Rileggi con calma quello che ho scritto! Devi moltiplicare la tua equazione congruenziale a destra e a sinistra per l'inverso (in questo caso 1) e non moltiplicare 1 per qualcosa..

Eravamo alla congruenza:



Abbiamo trovato che (modulo 5) è l'inverso moltiplicativo di 6.

Moltiplichiamo quindi ambo i membri per 1:



Ora,

proprio perché 1, in questo caso, è l'inverso moltiplicativo di 6, pertanto abbiamo che



è la famiglia delle nostre soluzioni, ovvero, per definizione di congruenza:



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Giuro che ho esaurito le parole! Non so più come spiegarmi! Prova a rileggere con calma. Se ancora non ti dovesse essere chiaro prenditi un libro di Algebra e parti dalle basi.. poi torna in questo topic e rileggi tutto. Non la prendere come un'offesa (lungi da me), ma come un consiglio

ciao, ti ringrazio tanto per la tua gentilezza e per la tua pazienza nei miei confronti , io fino

ad ora non ho avuto problemi con le congruenze, ho seguito sempre il procedimento di Bezout

e trovando il risultato, ho verificato dividendo (a * risultato)/n che deve dare come resto b se

questo non si verifica la congruenza è sbagliata, per quanto riguarda invece l'inverso

moltiplicativo, che non avevo compreso bene, praticamente e quel numero che moltiplicato

per a e diviso per n deve dare resto 1 sbaglio ? comunque ho capito i tuoi procedimenti, anche

perchè risolvendo altri esercizi con Bezout il risultato era corretto, invece provando con questa

congruenza non funzionava cosa strana, l'unica cosa che mi è sfuggita e quando dici che

ci sono che ma l'hai modificato per avere un

risultato corretto,

sbaglio ? vorrei capire come sei arrivato a scrivere

[Edit-Galois] Messaggio rimosso: come specificato nelle linee guida è possibile trattare un solo esercizio per topic[/Edit]

Siamo sempre là.. Se stiamo lavorando, come nel nostro caso, modulo 5, le classi di equivalenza univocamente determinate sono:



Quindi ogni intero si deve ricondurre a tale classe. Detto in parole semplici semplici, se stai lavorando modulo 5 e hai un numero maggiore o uguale a 5 puoi (devi) ricondurlo ad una di tali classi.

Nel nostro caso, è per definizione stessa di congruenza che:



in quanto 2 è il resto della divisione di 7 con 5.

Avrei potuto benissimamente lasciare il 7 e risolvere, come visto, l'equazione congruenziale:



Avrei trovato sempre la stessa cosa, infatti 1 rimane sempre e comunque l'inverso moltiplicativo di 6 modulo 5, quindi moltiplicando a destra e sinistra per 1 avrei ottenuto:



ma poi continuare scrivendo:



In quanto è bene ricondursi ad una delle classi univoche scritte sopra.