Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57690

avt
Frodo
Punto
Ciao a tutti! Questo è il mio primo messaggio...vengo subito al dunque. Come da titolo devo stabilire se una funzione f definita su Z a valori in Z è iniettiva.

Allora premetto che sino ad ora, ho fatto diversi esercizi senza riscontrare grossi problemi. Ora mi ritrovo a fare i conti con alcune funzioni che di primo acchito sono un po' rognose...
La funzione in questione è la seguente:

f(x)=x^2+x+1

Allora, la mia difficoltà consiste nel fatto che è un'equazione di 2° grado e sino ad ora non mi era mai capitato.
La prima cosa che ho provato a fare è stata quella di scomporre il polinomio, ma non ci sono riuscito. La mia idea era quella di ridurlo a funzioni composte e studiarle singolarmente, ma questa soluzione non sembra percorribile. Allora ho provato a risolvere l'equazione e ho notato che il delta è negativo, per cui l'equazione non ha soluzione nei reali e noi tra l'altro abbiamo il codominio negli interi.
A questo punto, qualcuno gentilmente potrebbe farmi capire come procedere? Io volevo provare l'iniettività dimostrando che a immagini uguali corrispondono elementi uguali.

Spero di essere stato chiaro.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
 
 

Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57709

avt
Omega
Amministratore
Ciao Frodo emt

dato che parliamo di una funzione da considerarsi definita da Z a Z, f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, la prima strada che conviene seguire prevede di usare la definizione stessa di funzione iniettiva.]

Prendiamo due elementi x_1,x_2\in\mathbb{Z} del dominio di f, e imponiamo l'uguaglianza tra le immagini

f(x_1)=f(x_2)

se da tale uguaglianza seguirà x_1=x_2, cioè se ad immagini uguali corrispondono preimmagini uguali, allora la funzione è iniettiva. In caso contrario no.

x_1^2+x_1+1=x_2^2+x_2+1

otteniamo

x_1^2+x_1=x_2^2+x_2

e volendo potremmo effettuare un raccoglimento sia a sinistra che a destra

x_1(x_1+1)=x_2(x_2+1)

mmmh...non funziona. emt Dobbiamo ragionare in un altro modo.


Idea: se avessimo dovuto considerare la funzione come funzione da R a R, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, allora avremmo avuto diverse possibilità (equivalenti) -> stabilire se una funzione reale a valori reali è iniettiva . Ad esempio avremmo potuto ragionare con il metodo grafico.

D'altra parte, dando uno sguardo al grafico di f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, potremmo ottenere preziose informazioni riguardo al comportamento di f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:

- se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} fosse iniettiva, concluderemmo subito che f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} è iniettiva. Questo perché \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}.

- Se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} non fosse iniettiva, non avremmo una conclusione immediata. f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} potrebbe essere o non essere iniettiva, ma potremmo trarre informazioni essenziali per approfondire l'indagine nel dominio dei relativi.

Applicando il metodo grafico e tracciando il grafico di f(x) scopriamo che si tratta di una parabola

grafico parabola per iniettivita


e f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} non è evidentemente iniettiva.

Domanda: esistono dei valori y\in\mathbb{Z} che hanno DUE preimmagini in \mathbb{Z} ? Ebbene sì:

x_1=-1,\ x_2=0\ \Rightarrow\ f(x_1)=1=f(x_2)

e la funzione f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} NON è iniettiva. emt
Ringraziano: CarFaby, Frodo

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57818

avt
Frodo
Punto
Ciao Omega! Ti ringrazio per la tempestiva risposta...allora diciamo che avevo iniziato come hai iniziato tu, però poi mi son perso.
Volevo porti questa domanda, se mi fossi fermato alla prima parte dove otteniamo:
x_1*(x_1+1)=x_2*(x_2+1)
sarebbe stato comunque sufficiente per dire che f non è iniettiva? Infine, il controesempio che fai alla fine l'hai dedotto guardando il grafico?Ti faccio questa domanda, perché a quanto ho capito la mia prof di matematica discreta, preferisce un ragionamento senza metodo grafico. Comunque ti ringrazio ancora per la risposta e ti chiedo scusa per la mia ottusità... emt

Ciao!!

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57856

avt
Omega
Amministratore
Figurati! emt

Ricordati una cosa: il ragionamento e il procedimento non necessariamente devono coincidere. emt Ho dedotto il controesempio dal grafico. Volendo, dopo averlo dedotto a livello di ragionamento, avresti potuto riportare come svolgimento

Prendiamo due elementi x_1,x_2\in\mathbb{Z} del dominio di f, e imponiamo l'uguaglianza tra le immagini

f(x_1)=f(x_2)

se da tale uguaglianza seguirà x_1=x_2, cioè se ad immagini uguali corrispondono preimmagini uguali, allora la funzione è iniettiva. In caso contrario no.

x_1^2+x_1+1=x_2^2+x_2+1

otteniamo

x_1^2+x_1=x_2^2+x_2

e volendo potremmo effettuare un raccoglimento sia a sinistra che a destra

x_1(x_1+1)=x_2(x_2+1)

da qui vediamo che l'uguaglianza è soddisfatta prendendo x_1=0,\ x_2=-1, infatti otterremmo 0=0. Otterremmo, in particolare, come valutazioni della funzione

f(x_1)=f(0)=0+0+1=1

f(x_2)=f(-1)=+1-1+1=1

quindi f non è iniettiva.


Tra l'altro Ifrit mi ha fatto notare che con una gabola algebrica potremmo evitare il metodo grafico (e francamente non me n'ero accorto ad una prima lettura). Da

x_1^2+x_1+1=x_2^2+x_2+1

porta tutto a sinistra dell'uguale

x_1^2-x_2^2+x_1-x_2+1-1=0

scomponi il binomio costituito dai primi due addendi

(x_1+x_2)(x_1-x_2)+x_1-x_2=0

ed effettua un raccoglimento parziale

(x_1+x_2+1)(x_1-x_2)=0

da cui ricaviamo x_1=x_2 (che non ci dice granché) oppure x_1=-x_2-1. Da qui deduciamo che la funzione non è iniettiva, perché prendendo x_1,x_2\in\mathbb{Z} tali da soddisfare la relazione x_1=-x_2-1 otteniamo immagini coincidenti. emt


Sta a te decidere come ragionare: i barbatrucchi algebrici costituiscono indubbiamente la strada migliore. Se però durante l'esame non avessi la giusta intuizione (causa stanchezza, tensione, etc.) ricorda che hai diverse possibilità. emt
Ringraziano: CarFaby, Frodo

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57891

avt
Frodo
Punto
Grazie mille!! La tua risposta è stata esauriente. Infatti, quello che ho notato è che la prof mette sempre funzioni che in qualche modo possiamo scomporre...ma io non ci riuscivo.

Per quanto riguarda la suriettività procedo con il metodo analitico:

\forall y\in\mathbb{Z} \mbox{ }\exists x\in\mathbb{Z} \mbox{ t.c. }f(x)=y.

Quindi: x^2+x+1=y il problema però è come prima ho l'equazione di secondo grado...non guardo il grafico della funzione... come procedo? Ora se fosse stata una semplice funzione di primo grado avrei trovato la x e verificato se appartenesse al dominio di f. Invece, così mi areno e mi scoraggio...uffa!

Grazie ancora.

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57897

avt
Omega
Amministratore
Qui è facile: dato che ragioniamo da Z a Z, prendiamo un generico y\in\mathbb{Z} e consideriamo l'equazione di secondo grado

x^2+x+1=y

che riscriviamo come

x^2+x+(1-y)=0

e che risolviamo come equazione di secondo grado

x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(1-y)}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{4y-3}}{2}

da qui notiamo che non possiamo prendere valori y tali che 4y-3<0. Ragionando nell'insieme dei relativi, la funzione non può assumere valori y\leq 0 (minori o uguali al primo intero relativo più piccolo di \frac{3}{4}). emt
Ringraziano: Frodo

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57969

avt
Frodo
Punto
Sinceramente avevo pensato di risolvere l'equazione di secondo grado, ma non l'ho detto perché temevo di dire una fesseria.
Quindi f non è suriettiva, perché se prendiamo un valore y<=0 la x che ricaviamo non appartiene al dominio della funzione.
Per cui possiamo scrivere che

\nexists z \in \mathbb{Z} : f(z)=y
Giusto?
Spero che facendo questo tipo di esercizi, riesco ad acquisire quella sicurezza e dimestichezza che mi manca. emt
Grazie.

Re: Dire se una funzione polinomiale da Z a Z è iniettiva #57984

avt
Omega
Amministratore
Sinceramente avevo pensato di risolvere l'equazione di secondo grado, ma non l'ho detto perché temevo di dire una fesseria.

Non farti mai problemi del genere qui da noi. emt

Quindi f non è suriettiva, perché se prendiamo un valore y<=0 la x che ricaviamo non appartiene al dominio della funzione.

Più che altro non possiamo ricavare nulla, ci troveremmo di fronte ad un'operazione priva di significato. Ciò ci fa capire a posteriori che quei punti non possono appartenere all'immagine della funzione. emt

Per cui possiamo scrivere che

\nexists z \in \mathbb{Z} : f(z)=y

Scritto così non va bene. Meglio essere specifici fino in fondo:

\forall\ y\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }y\leq 0,\ \nexists z \in \mathbb{Z} : f(z)=y

in realtà per negare in termini logici la suriettività ci basta che esista un elemento del codominio che non appartiene all'immagine. La seguente scrittura è una migliore riproposizione di quella che hai scritto tu

\exists \overline{y}\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }\forall\ z\in\mathbb{Z},\ f(z)\neq \overline{y}

che vuol dire: esiste un \overline{y} nel codominio che non è immagine di alcun elemento del dominio mediante f. emt
Ringraziano: Frodo
  • Pagina:
  • 1
Os