Suriettività di una funzione da Z a Z

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Suriettività di una funzione da Z a Z #57467

avt
VentoNelGrano
Punto
Salve, non riesco a studiare la suriettività di questa funzione da Z a Z. Cerco di applicare la definizione ma non arrivo a nulla. C'è un metodo pratico applicabile a tutte le funzioni?

F(n) vale n+17 se 17 divide n

F(n) vale n altrimenti.

Grazie per le eventuali risposte
Ringraziano: X0Rdario
 
 

Suriettività di una funzione da Z a Z #57471

avt
Omega
Amministratore
Ciao VentoNelGrano, cortesemente prendi visione delle linee guida del Forum e proponi un tentativo di risoluzione, indipendentemente dal fatto che sia giusto o sbagliato. emt

Suriettività di una funzione da Z a Z #57473

avt
VentoNelGrano
Punto
Omega il mio problema è proprio questo. So che la funzione è suriettiva se

\forall y\in Z,\ \exists x\in Z\ \mbox{ t.c. }y=f(x)

Ma non so proprio come applicarla questa definizione... :( è questo il problema..

Suriettività di una funzione da Z a Z #57478

avt
Omega
Amministratore
Ho capito, buio totale. emt

Ti mostrerò come risolvere l'esercizio in due modi: ragionando in modo spannometrico e ragionando in modo rigoroso. Il primo è quello che devi seguire a mente, il secondo è quello che devi presentare su carta, perché è quello formale. emt

Premetto sin da subito che non esiste alcun metodo per studiare la suriettività di una funzione che, a priori, permetta di scrivere un procedimento che funzioni in generale. O meglio: l'unico metodo cui fare riferimento è la definizione stessa di funzione suriettiva. NEl caso di funzioni reali di variabili reali ci sono diverse strade percorribili (come stabilire se una funzione è suriettiva), ma la tua domanda richiede un metodo valido per funzioni definite tra insiemi qualsiasi. Dovrai necessariamente appellarti alla definizione, e ragionare, ragionare, ragionare. emt


Metodo spannometrico

La funzione f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} è definita come

f(x)=\begin{cases}n+17\mbox{ se }17|n\\ n\mbox{ se }17\not{|}n\end{cases}

Prendiamo alcuni multipli di 17: -34,-17,0,+17,+34. Come si comporta la funzione f ?

f(-34)=-34+17=-17

f(-17)=-17+17=0

f(0)=0+17=+17

f(+17)=+17+17=+34

f(-34)=+34+17=+51

sembra (ed è così) che f associ ad ogni multiplo di 17 il multiplo successivo.

Per ogni numero n\in\mathbb{Z} che non è un multiplo di 17, f associa a tale numero il numero stesso

f(-5)=-5

f(-3)=-3

f(+1)=+1

e così via. Dico che f è suriettiva da Z a Z, perché manda l'insieme A dei numeri che non sono divisibili per 17 nell'insieme A dei numeri che non sono divisibili per 17, e manda l'insieme B dei numeri divisibili per 17 nell'insieme B dei numeri divisibili per 17.

Dato che A\cup B=\mathbb{Z}, concludiamo che la funzione è suriettiva da Z a Z.


Ragionamento rigoroso

Vogliamo stabilire se \forall m\in \mathbb{Z},\ \exists n\in Z\ \mbox{ t.c. }f(n)=m

Scriviamo \mathbb{Z} come unione disgiunta di due insiemi:

A:=\{n\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }17\not{|}n\}

B:=\{n\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }17|n\}=\{17k\mbox{ al variare di }k\in\mathbb{Z}\}

vale naturalmente \mathbb{Z}=A\cup B.

Se n\in A, risulta che f(n)=n. Dunque f(A)=A.

Se n\in B, poniamo n=17k per un opportuno k\in\mathbb{Z}, Sappiamo che

f(n)=n+17=17k+17=17(k+1)

quindi f(B)=B.

L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle singole immagini: f(A\cup B)=f(A)\cup f(B).

Possiamo concludere che f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} è suriettiva, cioè che f(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}. Infatti

f(\mathbb{Z})=f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)=A\cup B=\mathbb{Z}


Esercizietto per te

Dimostrare che la medesima funzione, considerata come f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, con \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}, non è suriettiva. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, VentoNelGrano, X0Rdario

Re: Suriettività di una funzione da Z a Z #57652

avt
VentoNelGrano
Punto
Ho capito!!!! Cavolo!!! Grazie mille!! Ora ne faccio altri per capire se è veramente così.
Sarò il vostro incubo per algebra, sappiatelo!
Ringraziano: Omega
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Os