Cos'è un gruppo?

ciao a tutti
Vado diritto alla domanda che voglio porvi in questo topic:
Cos'è un gruppo? Potete farmi degli esempi?
In particolare, in un gruppo cos'è l'elemento identità? E l'inverso? Sono unici? Potete farmi alcuni esempi?

Un gruppo è una struttura algebrica formata da due elementi :

: insieme non vuoto, detto sostegno.

è una operazione di arietà 2, o binaria, che ad ogni coppia associa un elemento dell'insieme , .

Tale operazione gode delle proprietà:

Associatività:




Elemento neutro
Esiste un elemento tale che si ha che:



detto elemento neutro

Elemento inverso
Per ogni elemento esiste tale che:



Questo definisce un gruppo.

Se vale inoltre:

commutatività:





allora avremo a che fare con un gruppo abeliano o commutativo.

Per ricordarmi le proprietà io utilizzo gli acronimi ANI (non elegante, ma funzionale) per i gruppi, ANIA per i gruppi abeliani.


L'elemento inverso è unico, così come l'elemento neutro.

Esempio di gruppi:

- dove * è la moltiplicazione usuale tra due numeri, è un gruppo abeliano.

La moltiplicazione è associativa e commutativa, l'elemento neutro è 1, l'elemento inverso di è

Attenzione, con indico l'insieme dei numeri reali positivi. Osserva che non è un gruppo, viene meno la condizione I), non esiste infatti l'inverso del numero 0.

- è un gruppo (abeliano), l'addizione è associativa, commutativa, l'elemento neutro dell'addizione è lo 0, l'elemento inverso di un numero è .

- NON è un gruppo, viene meno la condizione N), non troviamo infatti l'elemento neutro rispetto all'addizione.

Da questo evento si evince che la struttura di gruppo dipende fortemente dalla operazione e dal sostegno stesso