Cos'è un gruppo?

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Cos'è un gruppo? #5611

avt
David
Cerchio
emt emt emt ciao a tutti
Vado diritto alla domanda che voglio porvi in questo topic:
Cos'è un gruppo? Potete farmi degli esempi?
In particolare, in un gruppo cos'è l'elemento identità? E l'inverso? Sono unici? Potete farmi alcuni esempi?
Ringraziano: Pitagorica
 
 

Cos'è un gruppo? #5614

avt
Ifrit
Ambasciatore
Un gruppo è una struttura algebrica formata da due elementi (G, \circ):

G: insieme non vuoto, detto sostegno.

\circ: G\times G\longrightarrow G è una operazione di arietà 2, o binaria, che ad ogni coppia (g_1 ,g_2) associa un elemento dell'insieme G, g_1\circ g_2.

Tale operazione gode delle proprietà:

A) Associatività:
\forall, a, b, c\in G

a\circ(b\circ c)= (a\circ b)\circ c

N) Elemento neutro
Esiste un elemento e\in G tale che \forall a\in G si ha che:

a\circ e= e\circ a= a

detto elemento neutro

I) Elemento inverso
Per ogni elemento a\in G esiste a^{-1}\in G tale che:

a\circ a^{-1}=e= a^{-1}\circ a

Questo definisce un gruppo.

Se vale inoltre:

A_1) commutatività:

\forall a, b\in G

a\circ b=b\circ a

allora avremo a che fare con un gruppo abeliano o commutativo.

Per ricordarmi le proprietà io utilizzo gli acronimi ANI (non elegante, ma funzionale) per i gruppi, ANIA per i gruppi abeliani.


L'elemento inverso è unico, così come l'elemento neutro.

Esempio di gruppi:

-(\mathbb{R}^+, *) dove * è la moltiplicazione usuale tra due numeri, è un gruppo abeliano.

La moltiplicazione è associativa e commutativa, l'elemento neutro è 1, l'elemento inverso di a\in \mathbb{R}^+ è a^{-1}= \frac{1}{a}

Attenzione, con \mathbb{R}^+ indico l'insieme dei numeri reali positivi. Osserva che (\mathbb{R}, *) non è un gruppo, viene meno la condizione I), non esiste infatti l'inverso del numero 0.

-(\mathbb{R}, +) è un gruppo (abeliano), l'addizione è associativa, commutativa, l'elemento neutro dell'addizione è lo 0, l'elemento inverso di un numero aè -a.

-(\mathbb{R}^+, +) NON è un gruppo, viene meno la condizione N), non troviamo infatti l'elemento neutro rispetto all'addizione.

Da questo evento si evince che la struttura di gruppo dipende fortemente dalla operazione \circ e dal sostegno stesso G
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, David, CarFaby, Micole
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