Insiemi con la stessa cardinalità

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Insiemi con la stessa cardinalità #55612

avt
ciambellaro
Punto
Salve a tutti, non riesco a capire se la definizione di insiemi equipotenti (insiemi con la stessa cardinalità) scritta su una dispensa è errata o non riesco a capirne bene il significato.

Sul testo c'è scritto: "Due Insiemi X e Y hanno la stessa cardinalità se esiste una applicazione biiettiva da X a Y" e con un esempio mostra che gli insiemi N e N-{0} hanno la stessa cardinalità perché esiste un applicazione biietiva data da:

f: n -> n+1

e (quindi iniettiva e suriettiva) e fino a qui tutto ok.

Poi afferma: "tuttavia anche nel caso di applicazioni iniettive che NON sono suriettive, esiste la possibilità che X e Y abbiano la stessa cardinalità, poiché N possiede sottoinsiemi (esempio precedente) propriamente contenuti e della sua stessa cardinalità: l'inclusione di tale sottoinsieme in N fornisce un applicazione iniettiva MA non suriettiva tra insiemi che tuttavia possiedono la stessa cardinalità".

Quello che mi chiedo io è come sia possibile che tra un sottoinsieme di X e X stesso che hanno la stessa cardinalità non esiste applicazione suriettiva? Tutto questo va in disaccordo con la definizione stessa di equipotenza! E non mi sembra affatto che l'applicazione da N a N\{0} non sia suriettiva!
 
 

Insiemi con la stessa cardinalità #55639

avt
Galois
Amministratore
Ciao ciambellaro emt

Penso che tu ti stia un po' confondendo le idee e di certo, quello che hai riportato dalle dispense non aiuta emt

Vediamo di fare un po' di chiarezza.

Come ben dici due insiemi A e B sono equipotenti {\color{Red}se \ esiste} una funzione biettiva

f: A \rightarrow B

Infatti se consideriamo la funzione:

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0

n \mapsto n+1

essa è biettiva e quindi i due insiemi sono equipotenti e su questo non ci piove!

Richiamo la tua attenzione sul "se esiste" della definizione! Cioè non dice che tutte le funzioni da A in B devono essere biettive!

Sono infatti sicurissimo che da qualche parte, nelle tue dispense ci sarà una proposizione che afferma:

Se tra due insiemi A e B esiste un'applicazione iniettiva allora |A|\leq |B|

cioè la cardinalità di A è minore o uguale della cardinalità di B

Cioè, per farla breve:

se esiste una funzione iniettiva tra i due insiemi la cardinalità del primo è minore o uguale di quella del secondo.

Se poi riusciamo a trovare un'applicazione che oltre ad essere iniettiva è anche suriettiva allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità

Ad esempio se io considerassi:

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0

n \mapsto n+2

tale applicazione è iniettiva ma non suriettiva (non tutti gli elementi dell'insieme d'arrivo vengono infatti raggiunti), quindi non posso concludere che i due insiemi hanno la stessa cardinalità seppur abbiamo visto che ce l'hanno emt


Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, ciambellaro

Re: Insiemi con la stessa cardinalità #55677

avt
ciambellaro
Punto
Grazie Galois per la tua risposta!
Credo di aver capito il concetto. Quindi il problema che si pone studiando due insiemi (ad esempio N e N-{0}) per affermare che sono equipotenti è quello di dimostrare che esiste una generica applicazione biiettiva tra i due insiemi?

Se poi riusciamo a dimostrare che è solo iniettiva allora Car(A) <= Car(B) giusto?

Re: Insiemi con la stessa cardinalità #55701

avt
Omega
Amministratore
Ciao, credo che tu abbia frainteso parte della spiegazione di Galois. emt

per affermare che sono equipotenti è quello di dimostrare che esiste una generica applicazione biiettiva tra i due insiemi

No. Devi provare che esiste almeno una applicazione biiettiva tra i due insiemi, qualunque essa sia.
Se ne esiste anche solo una, i due insiemi sono equipotenti.
Una volta trovata un'applicazione biiettiva (se è possibile trovarla) non ti importa più di nulla. I due insiemi hanno la stessa cardinalità, punto e stop.

Se poi riusciamo a dimostrare che è solo iniettiva allora Car(A) <= Car(B) giusto?

No: se a priori hai due insiemi e ti capita tra le mani un'applicazione iniettiva F:A\to B, allora vale la relazione tra le cardinalità: |A|\leq |B|.
Poi se riesci a trovare anche una applicazione biiettiva, allora hai la garanzia che |A|=|B|.

Se però hai già trovato un'applicazione biiettiva, chettefrega di cercarne un'altra iniettiva?...emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, ciambellaro

Re: Insiemi con la stessa cardinalità #55769

avt
ciambellaro
Punto
Chiarissimi e velocissimi in tutte le risposte,grazie mille!! emt
Ringraziano: Omega
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Os