Verificare se un insieme è un reticolo

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Verificare se un insieme è un reticolo #55177

avt
serenere33
Punto
Ciao a tutti, sono nuova di qui!: Ho un esercizio in cui devo verificare se un dato insieme è un reticolo oppure no, ed è questo:

dato un insieme (A={1,2,3,4,5,6,8,12,24,32}, | ), dove | indica la relazione di divisibilità, verificare se l'insieme è un reticolo e tracciarne il diagramma di Hasse.
Ora, il mio problema, che potrà sembrare banale, è principalmente uno: come determino inf e sup, se esistono?
Specifico di aver bisogno di ogni singolo passaggio, dal momento che ho già controllato su vari siti e non sono riuscita a capire lo svolgimento per l'assenza di spiegazioni dettagliate. Sono più che sicura che sia una scemenza, ma essendo giorni che ci sbatto sopra, può darsi che mi stia semplicemente perdendo qualcosa..

Grazie in anticipo!
 
 

Verificare se un insieme è un reticolo #55199

avt
Omega
Amministratore
Ciao Serenere33, se ti riferisci agli estremi superiore e inferiore dell'insieme A, molto banalmente:

sup(A)=max(A)=32

inf(A)=min(A)=1

e se vuoi puoi approfondire il discorso leggendo la guida su sup, inf, max, min.

Dubito però che il tuo dubbio fosse questo, nel qual caso ti invito ad essere meno frettolosa e più precisa. Immagino che tu faccia riferimento all'insieme parzialmente ordinato (A,R) dove R è la relazione di divisibilità definita da

aRb\mbox{ se e solo se }a|b

cioè a è in relazione con b se e solo se a divide b. Si tratta di una relazione d'ordine (riflessiva, antisimmetrica, transitiva).

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Sempre tornando al discorso "precisione" emt dovendo verificare se (A,|) è un reticolo , basta fare appello alla definizione è verificare se comunque presi due elementi a,b\in A l'insieme \{a,b\} ammette estremo inferiore ed estremo superiore rispetto alla relazione d'ordine | entrambi appartenenti ad A.

Prendiamo ad esempio \{1,2\}: dato che 1|2 ne segue che 1 è l'estremo inferiore dell'insieme \{1,2\} e 2 è l'estremo superiore dell'insieme \{1,2\}. (Sempre rispetto alla relazione di divisibilità, beninteso!)

Il ragionamento si estende facilmente alle coppie di elementi dell'insieme A in cui uno dei due elementi divide l'altro.

E nel caso in cui ciò non accada? Se prendiamo ad esempio \{4,6\}, qui non è vero che 4 divide 6. Non è importante, ci basta che gli estremi inferiore e superiore di \{4,6\} appartengano ad A.
Ragionandoci un attimo non è difficile vedere che inf\{4,6\}=2 e sup\{4,6\}=12. (Ti ricordo che cerchiamo l'estremo inferiore e quello superiore rispetto alla relazione di divisibilità).

Più in generale è immediato verificare che, in \mathbb{N} dotato della relazione d'ordine di divisibilità:

inf\{n_1,n_2\}=MCD(n_1,n_2)

sup\{n_1,n_2\}=mcm(n_1,n_2)

è un suggerimento non indifferente, ragionaci un po' su.

Specifico di aver bisogno di ogni singolo passaggio

In Algebra, più che in qualsiasi altro ramo della Matematica, l'insieme dei "passaggi elementari" ha potenza superiore al continuo. Devi sbatterci tu un po' la testa altrimenti non è Algebra. emt

Tornando a noi, alla luce del precedente suggerimento potrai vedere immediatamente che non tutte le coppie di elementi di A ammettono sup e inf in A. Prendi ad esempio

\{2,5\}

il cui estremo inferiore è 1\in A, e il cui estremo superiore è 10\notin A.

(A,|) non è un reticolo. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby
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Os