Radice di 2 più radice cubica di 2 è irrazionale

Ciao! Cerco di dimostrare in qualche modo il fatto che la somma di radice di 2 e della radice cubica di 2 è irrazionale



ragionando in maniera analoga alla dimostrazione dell'irrazionalità di



Soltanto che non so come procedere. Posso limitarmi ad affermare che somma di due numeri irrazionale è anch'essa irrazionale?

Grazie per l'aiuto!

Ciao Dadigorico

Ti può essere molto utile questo link dove la radice quadrata di un numero primo non è razionale.

Dadigorico ha scritto:


In generale l'affermazione è falsa, basta prendere due numeri irrazionali e dove la loro somma



è un numero razionale.

Ciao a tutti!

Anche se quanto detto da CarFaby è sacrosanto, intervengo perché non risponde appieno alla domanda posta da Dadigorico, il quale si è proposto di dimostrare che:



è un irrazionale.

Vediamo un po' come fare. Do per scontato che, se allora: è irrazionale. Si dimostra molto agevolmente, proprio come si fa per dimostrare che la radice di 2 è irrazionale (click!)

Nel link trovi ben due dimostrazioni distinte

Ora, suppongo per assurdo che sia razionale, ovvero che

tale che

Allora:





Niente mi impedisce di elevare ambo i membri al cubo, ottenendo:



A secondo membro sviluppiamo il cubo di binomio ottenendo:



da cui:




Da qui l'assurdo! In quanto:

essendo una somma algebrica di interi. Ricorda infatti che

e, per lo stesso motivo anche:



da cui, per quanto premesso all'inizio: è irrazionale.

L'assurdo deriva quindi dal fatto che abbiamo un'uguaglianza fra un intero ed un irrazionale



Se hai dubbi sono qui