Insieme delle parti di una differenza

Salve ragazzi/e, la prof ci ha chiesto di verificare quale relazione sussiste tra la l'insieme delle parti della differenza di due insiemi e la differenza delle parti di tali insiemi... In soldoni, cosa va al posto del punto interrogativo: .

Ho cercato di dimostrare se uno dei due insiemi è incluso dell'altro e credo di aver dimostrato, senza incorrere in alcun errore (spero) che . Infatti, considerato un insieme , ho:


Ma a questo punto X può essere un sottoinsieme di S che contiene anche degli elementi di T, senza esser necessariamente anche un sottoinsieme di T. Dunque non è vero che e la catena di implicazioni si ferma e non posso dimostrare nulla.

Ho dunque provato a verificare se, al contrario, e credo di esserci riuscito, ma alla fine mi è sorto un dubbio. Ecco come l'ho dimostrato, questa volta considerando un insieme :



E dunque, se , avrò .

Il dubbio che mi è sorto è: ma nel primo membro, in c'è l'insieme vuoto, mentre nel secondo no, o sbaglio? Ma se è vero, contiene un insieme che non ha, e dunque non può essere contenuto in esso.

Non so dove ho sbagliato xD

Ciao Mark11000

La tua dimostrazione presenta un piccolo quanto malefico bug :(

Osserva che se allora non è vero che



L'insieme vuoto è un sottoinsieme di tutti i sottoinsiemi (e quindi anche di T). La prima parte della dimostrazione non è chiarissimissima, ma penso che tu stia percorrendo la strada giusta

Grazie mille, farò di sicuro più attenzione d'ora in avanti