Insieme delle parti di una differenza

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Insieme delle parti di una differenza #53288

avt
Mark11000
Punto
Salve ragazzi/e, la prof ci ha chiesto di verificare quale relazione sussiste tra la l'insieme delle parti della differenza di due insiemi e la differenza delle parti di tali insiemi... In soldoni, cosa va al posto del punto interrogativo: P(S-T) ? P(S) - P(T).

Ho cercato di dimostrare se uno dei due insiemi è incluso dell'altro e credo di aver dimostrato, senza incorrere in alcun errore (spero) che P(S-T) \not\supseteq P(S) - P(T). Infatti, considerato un insieme X \in P(S)-P(T), ho:
X \in P(S)-P(T) \Rightarrow X \in P(S) \wedge X \notin P(T) \Rightarrow X \subseteq S \wedge    X \not\subseteq  T

Ma a questo punto X può essere un sottoinsieme di S che contiene anche degli elementi di T, senza esser necessariamente anche un sottoinsieme di T. Dunque non è vero che X \subseteq S \wedge  X \not\subseteq  T \Rightarrow X \subseteq (S-T) e la catena di implicazioni si ferma e non posso dimostrare nulla.

Ho dunque provato a verificare se, al contrario, P(S-T) \subseteq P(S) - P(T) e credo di esserci riuscito, ma alla fine mi è sorto un dubbio. Ecco come l'ho dimostrato, questa volta considerando un insieme X \in P(S-T):

X \in P(S-T) \Rightarrow X  \subseteq (S-T) \Rightarrow X  \subseteq S \wedge X \not\subseteq T \Rightarrow X \in P(S) \wedge X \notin P(T) \Rightarrow X \in P(S)-P(T)

E dunque, se X \in P(S-T) \Rightarrow  X \in P(S)-P(T) , avrò P(S-T) \subseteq P(S) - P(T).

Il dubbio che mi è sorto è: ma nel primo membro, in P(S-T) c'è l'insieme vuoto, mentre nel secondo no, o sbaglio? Ma se è vero, P(S-T) contiene un insieme che P(S)-P(T) non ha, e dunque non può essere contenuto in esso.

Non so dove ho sbagliato xD
 
 

Re: Insieme delle parti di una differenza #53298

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Mark11000 emt

La tua dimostrazione presenta un piccolo quanto malefico bug :(

Osserva che se X= \emptyset allora non è vero che

X\in P(S-T)\implies X\subset S \wedge X\not\subseteq T

L'insieme vuoto è un sottoinsieme di tutti i sottoinsiemi (e quindi anche di T). La prima parte della dimostrazione non è chiarissimissima, ma penso che tu stia percorrendo la strada giusta emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Mark11000

Re: Insieme delle parti di una differenza #53662

avt
Mark11000
Punto
Grazie mille, farò di sicuro più attenzione d'ora in avanti emt
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Os