L'immagine dell'intersezione è l'intersezione delle immagini

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L'immagine dell'intersezione è l'intersezione delle immagini #53229

avt
Alato
Punto
Salve a tutti, volevo proporvi questa dimostrazione del fatto che l'immagine dell'intersezione coincide con l'intersezione delle immagini per funzioni iniettive.

L'esercizio dice: sia f una funzione iniettiva da A a B e siano A1 e A2 sottoinsiemi di A. Dimostrare che  f(A1 \cap  A2) = f(A1) \cap  f(A2) .

La mia dimostrazione:

Dimostro la doppia inclusione:

1)  f(A1 \cap  A2) \subseteq f(A1) \cap  f(A2)

Sia  y \in f(A1 \cap A2) tale che  y=f(x) , allora  x \in A1 e contemporaneamente  x \in A2 , da cui  y\in f(A1) e  y \in f(A2) , ovvero  y \in f(A1) \cap f(A2) , cioè

 f(A1 \cap  A2) \subseteq f(A1) \cap f(A2)



2)  f(A1 \cap  A2) \supseteq f(A1) \cap  f(A2)

Sia  y \in  f(A1) \cap f(A2) tale che  y=f(x) , allora  y \in f(A1) e  y \in f(A2) con  x \in A1 e  x \in A2 , ovvero  x \in  A1 \cap A2 , cioè  y\in f(A1 \cap  A2) :

 f(A1 \cap  A2) \supseteq f(A1) \cap  f(A2)



La doppia inclusione è dimostrata.

Nutro grossi dubbi su questa dimostrazione. Ho trascurato le ipotesi (il fatto che f fosse iniettiva e che A1 e A2 fossero contenuti in A). Mi farebbe piacere se qualcuno mi desse qualche dritta su come impostare meglio la dimostrazione.
Grazie in anticipo.
 
 

L'immagine dell'intersezione è l'intersezione delle immagini #53233

avt
frank094
Maestro
Ciao Alato,

la tua dimostrazione essenzialmente segue la strada giusta, ma è formalmente scorretta ( e questo, come hai notato, è relativo al fatto che l'ipotesi di iniettività non è stata utilizzata ).

In linea teorica potresti fare una catena di doppie implicazioni così da non dover dimostrare separatamente le due inclusioni ma ora, per fare un po' di chiarezza, procedo prima come hai fatto tu e poi ti lascio anche come la avrei svolta io.

1. \qquad \qquad f(A_1 \cup A_2) \subseteq f(A_1) \cup f(A_2)

Sia y \in f(A_1 \cup A_2), allora \exists x \in A_1 \cup A_2 tale che y = f(x). Ma x \in A_1 \cup A_2 \implies x \in A_1 \wedge x \in A_2 \implies y = f(x) \in f(A_1) \wedge y = f(x) \in f(A_2) \implies y = f(x) \in f(A_1) \cup f(A_2).

Quindi la prima parte è corretta; infatti per una generica funzione vale solamente l'inclusione 1.. L'inclusione inversa, invece, si può dimostrare essere valida per funzioni iniettive perché richiede questa particolare ipotesi!

2. \qquad \qquad f(A_1 \cup A_2) \supseteq f(A_1) \cup f(A_2)

Sia y \in f(A_1) \cup f(A_2), allora y \in f(A_1) \wedge f(A_2) \implies \exists x_1 \in A_1 tale che y = f(x_1) e \exists x_2 \in A_2 tale che y = f(x_2). Ma la funzione è iniettiva, dunque ad una stessa immagine può essere collegato un solo elemento, ed in particolare si ha x_1 = x_2. Allora x \in A_1 \cup A_2 \implies y = f(x) \in f(A_1 \cup A_2).

Ed abbiamo finito. Visto? L'ipotesi di iniettività è necessaria perché y potrebbe essere raggiunto da elementi diversi dei due sottoinsiemi e l'inclusione 2. sarebbe banalmente falsa. Volendo procedere con una sola catena si poteva scrivere

y \in f(A_1) \cup f(A_2) \iff y \in f(A_1) \wedge f(A_2) \iff \exists x_1 = x_2 \in A_1, A_2, y = f(x_1) = f(x_2) \iff x \in A_1 \cup A_2 \iff y = f(x) \in f(A_1 \cup A_2).

Nello scrivere quest'ultima catena di doppie implicazioni sono impazzito con il LaTex quindi non escludo di aver scritto qualche sciocchezza; in linea di principio, comunque, la dimostrazione ( usando l'ipotesi di iniettività ), può essere scritta in questo modo.

Ci sono dubbi in proposito? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, kameor, Alato

L'immagine dell'intersezione è l'intersezione delle immagini #53235

avt
kameor
Sfera
Ciao ^^,

ma guarda in realtà è più giusta di quanto pensi, però forse nella seconda parte c'è un passaggio che andrebbe giustificato meglio.

In particolare questa implicazione non è vera in generale:

y \in f(A_1) e y \in f(A_2) allora x \in A_1 e x \in A_2

Ma è sempre vera quando f è iniettiva.
Vedi se riesci a modificare questa parte in modo da sfruttare in modo esplicito la iniettività della funzione.

PS: ops, anticipato ^^
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit, Alato

Re: L'immagine dell'intersezione è l'intersezione delle immagini #53490

avt
Alato
Punto
Grazie mille per la dritta! Era proprio quello che cercavo di capire, mi sembrava tutto troppo facile senza usare l'iniettività della funzione... e infatti avevo dato per scontato che:
 y \in f(A_1) e y \in f(A_2) allora x \in A_1 e x \in A_2

P.S. Frank, credo che tu abbia sbagliato simbolo. Hai usato l'unione anziché l'intersezione, ma mi sono capito comunque ^.^
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Os