Dimostrare che un numero è irrazionale

Ciao a tutti. Il mio libro mi chiede di dimostrare che 2+3 è un numero irrazionale.

Io ho iniziato ponendo per assurdo che

2+3= m/n

ed elevando al quadrato dopo aver portato la radice a secondo membro, ho ottenuto:

m²/n²-4m/n=14.

A questo punto ho riscritto l'equazione facendo il minimo comune multiplo e portando il denominatore a secondo membro:

m(m-4n)=14n².

A questo punto mi blocco, perché non riesco a dimostrare che il primo membro a dispari a fronte del secondo membro è pari per arrivare all'assurdo. Ringrazio in anticipo le anime pie!

Ciao Spikini

L'incipit della tua dimostrazione è corretto, però hai dimenticato di dire che il da cui si deduce che ed non possono essere entrambi pari, ma sinceramente non vedo come poter arrivare ad un assurdo e ti spiego il motivo.

Sei arrivato a:



Ora la quantità a destra è pari, quindi quella a sinistra deve essere pari, ovvero: è pari, che è vero solo a patto che sia pari.

Ora per cadere nell'assurdo dovremmo provare che anche è pari, ma ciò non mi sembra possibile


Ti propongo una dimostrazione alternativa.

Dovrebbe essere semplice dimostrare che, in generale, è irrazionale, con [Prova a dimostrarlo tu. Potrebbe anche essere un esercizio del libro antecedente a questo ;)]

Una volta provato questo (se lo hai già provato lo puoi dare per scontato) passiamo a provare che

è irrazionale

Supponiamo per assurdo che non lo sia, ovvero che esistano

tali che



Allora:





Ora:

è indubbiamente un numero intero in quanto tali sono ed

è un numero della forma in quanto

E ciò ci porta all'assurdo sperato!

Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi sono qua