Dimostrare che un numero è irrazionale

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Dimostrare che un numero è irrazionale #52144

avt
Spikini
Punto
Ciao a tutti. Il mio libro mi chiede di dimostrare che 2+3\sqrt{2} è un numero irrazionale.

Io ho iniziato ponendo per assurdo che

2+3\sqrt{2}= m/n

ed elevando al quadrato dopo aver portato la radice a secondo membro, ho ottenuto:

m2/n2-4m/n=14.

A questo punto ho riscritto l'equazione facendo il minimo comune multiplo e portando il denominatore a secondo membro:

m(m-4n)=14n2.

A questo punto mi blocco, perché non riesco a dimostrare che il primo membro a dispari a fronte del secondo membro è pari per arrivare all'assurdo. Ringrazio in anticipo le anime pie! emt
 
 

Dimostrare che un numero è irrazionale #52160

avt
Galois
Amministratore
Ciao Spikini emt

L'incipit della tua dimostrazione è corretto, però hai dimenticato di dire che il mcd(m,n)=1 da cui si deduce che m ed n non possono essere entrambi pari, ma sinceramente non vedo come poter arrivare ad un assurdo e ti spiego il motivo.

Sei arrivato a:

m(m-4n)=14n^2

Ora la quantità a destra è pari, quindi quella a sinistra deve essere pari, ovvero: m(m-4n) è pari, che è vero solo a patto che m sia pari.

Ora per cadere nell'assurdo dovremmo provare che anche n è pari, ma ciò non mi sembra possibile emt


Ti propongo una dimostrazione alternativa.

Dovrebbe essere semplice dimostrare che, in generale, k\sqrt{2} è irrazionale, con k \in \mathbb{Z} [Prova a dimostrarlo tu. Potrebbe anche essere un esercizio del libro antecedente a questo ;)]

Una volta provato questo (se lo hai già provato lo puoi dare per scontato) passiamo a provare che

2+3\sqrt{2} è irrazionale

Supponiamo per assurdo che non lo sia, ovvero che esistano

m,n \ \in \mathbb{Z}, \ \ mcd(m,n)=1 tali che

2+3\sqrt{2}=\frac{m}{n}

Allora:

2n+3n\sqrt{2}=m

3n\sqrt{2}=m-2n

Ora:

m-2n è indubbiamente un numero intero in quanto tali sono m ed n

3n\sqrt{2} è un numero della forma k\sqrt{2}, \ k \in \mathbb{Z} in quanto 3n \ \in \mathbb{Z}

E ciò ci porta all'assurdo sperato!

Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi sono qua emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os