Disuguaglianza con n^3 e n! e passo d'induzione iniziale

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Disuguaglianza con n^3 e n! e passo d'induzione iniziale #51190

avt
SaMe
Punto
Salve a tutti, avrei una domanda riguardante una disuguaglianza che devo dimostrare e l'applicazione del principio di induzione. Chiedo scusa se sto scrivendo molte richieste in questo periodo ma l'esame è vicino (molto, troppo vicino emt )

La domanda del prof è: stabilire per quali interi positivi n € N vale la seguente disuguaglianza

n^{3} < n!

La mia è: ma questo devo trovarlo per forza a tentativi e poi dimostrare per induzione che ho trovato la risposta esatta o esiste una maniera analitica per fare ciò?
 
 

Disuguaglianza con n^3 e n! e passo d'induzione iniziale #51231

avt
Omega
Amministratore
Ciao SaMe, essenzialmente sì. emt Non ce ne vogliono molti però, perché dallo studio dell'Analisi si sa già che \{n!\}_n è una successione a termini definitivamente maggiori di quelli di \{n^J\}_{n} con J un intero qualsiasi.

Dato che qui la potenza di n ha esponente piccolo (J=3), puoi procedere "per tentativi" e arrivare ad una conclusione in pochi secondi.

Trovi come passo iniziale n=6, dopodiché puoi mettere in moto il teatrino del principio di induzione.


Un'alternativa analitica: osserva che n^3<n! equivale a

n^2<(n-1)!

ossia

n\cdot n<(n-1)(n-2)(n-3)!

Ora è facile vedere che n<(n-1)(n-2) per n\geq 4 (ti basta risolvere la disequazione in campo reale e poi tornare ai numeri naturali). Per vedere che n<(n-3)! vale per n\geq 7 puoi dare sfogo alla tua fantasia. emt
Ringraziano: Pi Greco, SaMe

Re: Disuguaglianza con n^3 e n! e passo d'induzione iniziale #51238

avt
SaMe
Punto
grazie
si la necessità dei pochi passaggi me ne ero accorto però il dubbio lo tenevo in quanto il corso l'ho seguito l'anno scorso e non sono riuscito a dare l'esame e lo sto dando ora, ovviamente i teoremi ecc sono facili da imparare ma gli esercizi basati non su un teorema ma sulla semplice logica ho sempre paura di sbagliarli dimenticando qualche teorema.

p.s non è finita qui, ritornerò molto presto (credo)
Ringraziano: Omega
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Os