Parte stabile generata da X

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Parte stabile generata da X #50933

avt
SaMe
Punto
L'esercizio riguarda la parte stabile generata da un insieme ed è il seguente: sia (Z, +) il gruppo additivo degli interi e sia X = {22, 15}.
Determinare la parte stabile generata da X ed il sottogruppo generato da X.

Questa è la traccia. Ora una parte stabile è tale se (X, +) è chiuso rispetto a + ovvero se i risultati della somma su X cadono di nuovo in X? ma quindi come faccio a definire la parte stabile di un insieme di 2 elementi?

secondo punto, il sottogruppo. Un gruppo è un monoid in cui ogni elemento è invertibile quindi devo trovare una struttura (T, *) t.c * sia associativa ed abbia zero ed opposto. Se quindi trovo un sottoinsieme T' di T t.c. * è chiusa rispetto a T' ho trovato il sottogruppo.

Ora se si tratta di dimostrare il fatto che sia una parte stabile \ un sottogruppo ci riesco, controllo se le proprietà sono soddisfatte e ok. Ma in questo caso che devo trovare le 2 cose come devo comportarmi?
Non posso iniziare a calcolare tutte le somme del tipo 22+15 = 37, 22+37, 15+37 e così via quindi in buona sostanza.... mi sa che non ho capito esattamente la traccia.

ps. la discussione è aperta anche su un altro forum dove non sto avendo alcuna risposta, lo dico solo per correttezza ma ovviamente non dirò l'altro forum.
 
 

Re: Parte stabile generata da X #50940

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao SaMe emt

Posso chiederti la definizione di "parte stabile generata da un insieme"? Quella che riporti è la definizione di "parte stabile di un insieme". Secondo me è una sfumatura da non sottovalutare. Oltre a questo non so dirti molto per ora, perché questo concetto non mi è familiare :\
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Parte stabile generata da X #50946

avt
SaMe
Punto
non avevo notato questa cosa infatti, sono andato a cercare meglio la def ed ho trovato che

Sia X un insieme di elementi di una struttura algebrica. L'intersezione di tutte le parti stabili contenenti X prende il nome di parte stabile generata da X

quindi dovrei prendere (a livello concettuale) tutte le parti stabili che hanno 22 e 15 al loro interno.

mentre per il sottogruppo generato ancora non ho nessuna idea dato che in Z andando a definire le operazioni di somma e prodotto come chiuse rispetto a un suo sottoinsieme andiamo a definire un insieme illimitato

Re: Parte stabile generata da X #50955

avt
Ifrit
Amministratore
C'è qualcosa che non va nella definizione di parte stabile di un insieme. Potresti gentilmente controllare per favore? Come ti dicevo, sono concetti nuovi per me. Per quanto riguarda il sottogruppo generato da \left\{22, 15\right\}, devi prendere tutte le "combinazioni lineari" di {22,15} ovvero:

S= \left\{22a+ 15 b: a, b\in \mathbb{Z} \right\}
Ringraziano: Omega, CarFaby, SaMe

Re: Parte stabile generata da X #50958

avt
SaMe
Punto
ok intanto grazie per la 2° parte.
Per quanto riguarda la prima ora ho lasciato un libro e alcuni appunti a casa (sai com'è tutto il malloppone è leggermente pesante)
domani li prendo e ti faccio sapere comunque la definizione era precisa a come l'ho trovata su internet anche se sappiamo non essere molto affidabile come fonte, meglio il libro e le slide del prof.

Re: Parte stabile generata da X #50959

avt
Ifrit
Amministratore
Sì dai, facciamo così emt Sono certo che ne gioveremo entrambi emt

Re: Parte stabile generata da X #50991

avt
Galois
Amministratore
ciao SaMe e ciao Ifrit emt

Mi dedicherò alla parte sulla parte stabile generata e per far ciò, a scanso di equivoci, farò qualche preambolo teorico emt

DEF: Sia (S,*) una struttura algebrica con operazione interna. Un sottoinsieme non vuoto X di S si dice parte stabile se:

a*b \in X, \ \forall a,b \in X

DEF: Sia X un insieme di elementi di una struttura algebrica. L'intersezione di tutte le parti stabili contenenti X prende il nome di parte stabile generata da X e la denoterò con St(X)


Queste sono le definizioni che ci servono, ora sotto con un paio di teoremini emt

Teor 1) Sia X un insieme di elementi di una struttura algebrica di sostegno S.
Un sottoinsieme Y di S è la parte stabile generata da X se e solo se valgono le seguenti due proprietá:

- Y è una parte stabile contenente X;

- Y è contenuto in ogni parte stabile che contenga X.

[la dimostrazione è quasi immediata e in soldoni, questo teorema ci dice che St(X) è la minima parte stabile, rispetto all'inclusione, di S contenente X]

Teor 2) - che ci permetterà di risolvere il problema -

Sia (S,*) un semigruppo e X un insieme non vuoto di elementi di S. Allora risulta

St(X) = \{x_1 * x_2 * x_3 * .... * x_n, \ \ x_i \in X \ \ \forall i \in \mathbb{N}\}

La validità di questo risultato segue banalmente dal teorema 1 prima enunciato, infatti tale parte stabile così definita verifica le due proprietà del teorema precedente.

_______________

Veniamo ora al nostro esercizio:

(\mathbb{Z}, + ) è un semigruppo (in quanto gruppo)

X=\{22,15\} è un insieme non vuoto di elementi di \mathbb{Z}

Per il teorema 2 prima enunciato, si sarebbe indotti a dire che:

St(X)=\{22+15\}, ovvero St(X)=\{37\}

Fatal Error! Nessuno infatti, nel Teorema 2, ha detto che gli elementi di X vanno ripetuti una ed una sola volta! Potrei anche sommare un solo elemento con se stesso infinite volte!

Ragion per cui:

St(X)=\{22n+15m\, \ \ n,m \in \mathbb{Z}}\}

Fine emt

Spero di essere stato chiaro.. bye bye emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, SaMe

Re: Parte stabile generata da X #51045

avt
SaMe
Punto
fondamentalmente a generare le varie parti stabili partendo da un insieme X sono tutte le combinazioni lineari (incluso n=0) degli elementi \in X

Questo avviene perchè le parti stabili generate da X sono in pratica tutte le parti stabili che contengono X ovvero le parti stabili che hanno al loro interno ad esempio 30 = 15 + 15 e 44 = 22 +22 ecc ecc (per def di parte stabile generata da x)

vanno prese tutte le combinazioni lineari invece per def di parte stabile in quanto deve essere chiusa rispetto all'operazione quindi sarà chiusa sempre e solo rispetto alla comb. lineare dei suoi elementi (dato che siamo in + se l'operazione era un'altra la situazione poteva cambiare)

e a questo punto il sottogruppo generato da X sarebbe (StX, +)
dato che la parte stabile eredita le proprietà del gruppo (associativa, elem neutro, invertibilità di ogni elemento)

giusto? Forse la spiegazione discorsiva lascia a desiderare ma i concetti li ho capiti se non ho scritto bagianate
Ringraziano: Galois

Re: Parte stabile generata da X #51050

avt
Galois
Amministratore

fondamentalmente a generare le varie parti stabili partendo da un insieme X sono tutte le combinazioni lineari (incluso n=0) degli elementi \in X


Secondo me non ha senso dire "a generare le parti stabili" in quanto, come come ti ho detto nel mio post precedente, la parte stabile generata da un insieme è una ed una sola ed è la minima (rispetto all'operazione di inclusione) fra tutte le parti stabili che contengono l'insieme [per definizione si ottiene dall'intersezione fra tutte le parti stabili che contengono l'insieme]

Questo avviene perchè le parti stabili generate da X sono in pratica tutte le parti stabili che contengono X ovvero le parti stabili che hanno al loro interno ad esempio 30 = 15 + 15 e 44 = 22 +22 ecc ecc (per def di parte stabile generata da x)


Anche questo concetto è errato.. Non ha senso parlare di parti stabili generate da X in quanto come dicevo sopra la parte stabile generata è una ed una sola.. Fai attenzione a questo! Come ti aveva fatto notare anche Ifrit ieri c'è differenza fra "parte stabile di X" e "parte stabile generata da X" (ieri ti ho dato le definizioni apposta)

Inoltre nota è impossibile scrivere per esteso gli elementi della parte stabile.. Se scrivessi:

St(X)=\{15, \ 22, \ 30, \ 44\}

questa non è una parte stabile, in quanto ad esempio 22+15=37 non c'è.

e a questo punto il sottogruppo generato da X sarebbe (StX, +)
dato che la parte stabile eredita le proprietà del gruppo (associativa, elem neutro, invertibilità di ogni elemento)


Sono d'accordo emt

In ogni caso, in linea di massima, mi sembra che i concetti tu li abbia afferrati, ma in Matematica questo non basta.. bisogna anche saperli esprimere correttamente emt

Spero di aver risolto, almeno in parte, i tuoi dubbi emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, SaMe

Re: Parte stabile generata da X #51053

avt
SaMe
Punto
ok ora credo sia tutto chiaro, re-integro il tutto con il libro e posso anche rispondere alle famigerate domande del prof emt

grazie
Ringraziano: Galois
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Os