Elementi dell'anello Z_2804 tali che a^3=a

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Elementi dell'anello Z_2804 tali che a^3=a #47276

avt
violencejack88
Punto
Ciao a tutti, ho difficoltà nel proseguire alla risoluzione del seguente problema di Algebra modulare:

quanti e quali sono gli elementi \alpha \in Z_{2804} tali che \alpha^{3}= \alpha?

Ho scomposto 2804 = 701 * 2 * 2.

Ora i primi \alpha^{3}= \alpha sono:

0^{3} = 0

1^{3} = 1

701^{3} = 344472101 che in Z_{2804} è 701.

Come potrei procedere per trovare gli altri? Grazie in anticipo.
 
 

Re: Elementi dell'anello Z_2804 tali che a^3=a #47601

avt
Galois
Coamministratore
Ciao violencejack88 emt

Chiedo scusa per il notevole ritardo nella risposta, ma mi era totalmente sfuggita emt

Ora, facendo un giro nelle domande senza risposta l'ho notata e non potevo fare a meno di rispondere visto la mia grande passione per l'Algebra e la teoria dei numeri in particolare.

Potrei darti subito la soluzione, ma capiresti poco.
In generale, per questo tipo di esercizi, non riuscirai mai a trovare la soluzione di colpo, ma come diceva il mio professore serve prima fare un po' di "brutta copia" per cercare di capire come vanno le cose emt

Iniziamo.

Dobbiamo trovare gli elementi a di Z2804 tali che:

a^3 = a

Innanzitutto chiediamoci cosa vuol dire.
Premetto che gli elementi di Zn in generale, non sono numeri, ma classi di equivalenza e tali classi hanno infinite elementi, ma un unico rappresentante. Quanti sono tali rappresentanti? Esattamente n, ovvero tutti i numeri da 1 ad n o da 0 a n-1 che dir si voglia.

Quindi, trovare gli elementi a di Z2804 tali che:

a^3 = a

vuol dire trovare i rappresentanti a delle classi di equivalenza mod2804 tali che

a^3 \equiv_{2804} a.

Inoltre tali a devono essere maggiori o uguali a zero e minori o uguali a 2804, altrimenti si perderebbe l'unicità del rappresentante.

Chiarito ciò passiamo alla risoluzione.

Come hai ben osservato:

2804 = 4*701, ovvero 2804 è della forma 4p \ con \ p \ primo.

Quindi giustamente andiamo subito a controllare se 701 verifica la proprietà richiesta, ovvero verifichiamo se:

701^3 \equiv_{2804} 701

hai già visto solo che la verifica. E' un caso?
No!

Infatti, cosa vuol dire trovare gli elementi a di Z2804 tali che a^3\equiv_{2804} a ?

Vuol dire trovare quegli elementi tali che:

2804| (a^3-a)

ovvero:

2804| [a(a-1)(a+1)]

infatti a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)

Ora, gli unici divisori di 2804 sono:

1, \ 2, \ 4, \ 701, \ 701*2, \ 701*3, \ 701*4

pertanto:

2804| [a(a-1)(a+1)] \Leftrightarrow \begin{matrix}1| [a(a-1)(a+1)] \\ 2| [a(a-1)(a+1)] \\ 4| [a(a-1)(a+1)] \\ 701| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*2)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*3)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*4)| [a(a-1)(a+1)]\end{matrix}

Ora, 1 divide tutti i numeri, quindi la prima non ci dice nulla e la possiamo escludere.

Inoltre a(a-1)(a+1) = (a-1)(a)(a+1) ovvero sono tre numeri interi consecutivi. Fra essi ci sarà almeno uno pari (essendo tre numeri consecutivi), quindi di sicuro:

2| [a(a-1)(a+1)]

e anche questa non ci dice nulla.

Per quanto riguarda:

4| [a(a-1)(a+1)]

lo andremo a vedere già in 701*4, quindi ci rimangono da analizzare i casi:

701| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*2)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*3)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*4)| [a(a-1)(a+1)]

Primo caso:

701| [a(a-1)(a+1)]

Essendo 701 un primo,

701| [a(a-1)(a+1)] se e solo se almeno uno fra a, a+a, a-1 è uguale a 701 o è un suo multiplo, cioè

a=701 \ oppure \ a+1 = 701 \ oppure \ a-1 = 701

a=2*701 \ oppure \ a+1= 2*701 \ oppure \ a-1=2*701

a=3*701 \ oppure \ a+1= 3*701 \ oppure \ a-1=3*701

a=4*701 \ oppure \ a+1= 4*701 \ oppure \ a-1=4*701

e qua ci fermiamo perché avevamo detto prima che a<=2804=4*701

Osserva che in questo modo stiamo già considerando i casi:

(701*2)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*3)| [a(a-1)(a+1)] \\ (701*4)| [a(a-1)(a+1)]

Quindi, tutti e soli gli elementi che verificano la proprietà richiesta sono da ricercare tra:

a=701 \ oppure \ a = 700 \ oppure \ a = 702

a=1402 \ oppure \ a= 1401 \ oppure \ a=1402

a=2103 \ oppure \ a= 2102 \ oppure \ a=2104

a=2804\equiv_{2804}0 \ oppure \ a=2803 \ oppure \ a=2805\equiv_{2804}1

emt emt emt

Mi sembra un risultato notevole!
Con un piccolissimo procedimento, da 2804 numeri da dover verificare siam passati a 12, in realtà 9, visto che 0,1,701 sono immediati da verificare emt

E siamo sicuri che i numeri cercati sono solo e soltanto fra questi e non ve ne sono altri! Ora se disponi di una calcolatrice bene, altrimenti con un buono e costruttivo calcolo modulare vai a verificare i 12 numeri. Scoprirai che quelli che verificano la proprietà richiesta sono 9 ed in particolare:

0 \\ 1 \\ 700 \\ 701 \\ 1401 \\ 1403 \\ 2103 \\ 2104 \\ 2803

emt emt emt

Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, violencejack88

Re: Elementi dell'anello Z_2804 tali che a^3=a #47615

avt
Galois
Coamministratore
Pensandoci ancora, e insospettito da quel "quanti" nel testo dell'esercizio, ho pensato che 2804 deve avere una proprietà particolare.

Bene, son riuscito a capire qual è! emt

Anzi, tale proprietà è verificata da tutti gli interi della forma 4p, \ ovvero 4 \ per \ un \ numero \ primo

Se consideriamo infatti l'anello Z4p

allora gli elementi a di Z4p che verificano

a^3=a

sono esattamente nove ed essi sono:

0 \\ 1 \\ p \\ p-1 \ oppure \ p+1 \\ 2p-1 \\ 2p+1 \\ 3p \\ 3p-1 \ oppure \ 3p+1 \\ 4p-1

E si riesce a dimostrare abbastanza facilmente emt

Si potrebbe continuare.

Ad esempio in Z2p sempre con p primo,

gli elementi che verificano

a^3=a

sono:

0 \\ 1 \\ p \\ p-1 \\ p+1 \\ 2p-1

emt emt

E per tornare a quanto detto prima a proposito della brutta copia, se volessimo fare una bella copia a doc sarebbe quello che ho appena scritto emt

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
Ringraziano: Pi Greco, violencejack88
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