Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi...

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Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4650

avt
904
Sfera
Qualcuno mi può far capire per bene le relazioni tra insiemi ad esempio la relazione binaria e quella di equivalenza e soprattutto come spiegare alla prof le strutture algebriche ,anelli , campi e gruppi
 
 

Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4651

avt
Omega
Amministratore
C'è da scrivere una dispensina! Con un po' di pazienza vediamo tutto insieme, ci vorrà un po'...

Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4655

avt
904
Sfera
appena puoi l'importanet è che li capisco bene per lunedì che devo fare l'esame orale o almeno se vengo promosso allo scritto devo fare l'orale emt

Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4725

avt
Omega
Amministratore
Prima di lunedì c'è tempo, ma c'è anche molto lavoro da fare! emt

Partiamo dalle definizioni...

RELAZIONE BINARIA

Si definisce relazione binaria su un insieme X un sottoinsieme R\subseteq X\times X del prodotto cartesiano di X con sé stesso. Dato un elemento (x,y)\in R, si dice che (x,y) sono in relazione tra loro mediante R e si scrive xRy.

Commento:

niente di complicato. Una relazione binaria è un insieme di coppie ordinate di elementi di un insieme. Per ogni coppia della relazione si suole dire che gli elementi della coppia sono in relazione tra loro mediante la relazione considerata.

Nota che la relazione come sottoinsieme del cartesiano di un insieme con sé stesso definisce automaticamente la regola che lega a due a due certi elementi dell'insieme.

Esempio:

Prendiamo X=\{1,2,3\}. Una relazione binaria R su X è ad esempio

R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\subseteq X\X

che si dice relazione identica e che si può definire come

\forall (x,y)\in X xRy\mbox{ se e solo se }x=y.

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RELAZIONE DI EQUIVALENZA

Alcune cose le trovi qui qui.

Tutte le altre le trovi qui. Esempi, esercizi, definizione...

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Per ora mi fermo qui, leggi e medita, vorrei sapere cosa hai capito e cosa no. Poi passiamo a strutture algebriche, semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, domini di integrità, campi...
Ringraziano: frank094, Ifrit, CarFaby

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4784

avt
904
Sfera
si ok mi sono chiare queste cose

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #4892

avt
Omega
Amministratore
Ok, ora arriva il bello... emt

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Premessa: con "operazione binaria" * definita su un insieme Y intendiamo una applicazione

* :Y\mbox{x}Y\to Y

definita dal prodotto cartesiano di Y a Y. Nel seguito, con "insieme munito di un'operazione binaria" sottintenderemo che l'insieme sia chiuso rispetto all'operazione stessa.

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STRUTTURA ALGEBRICA

Definizione: Una struttura algebrica (X,\bullet) è un qualsiasi insieme non vuoto X munito di un'operazione (unaria,binaria o ennaria)\bullet (eventualmente, munito di più operazioni).

Commento: poco da dire. Una struttura algebrica è un'entità algebrica generalissima, basta avere un insieme e almeno un'operazione binaria definita sull'insieme.

Esempio:

Possiamo considerare come struttura algebrica (X,\clubsuit) dove X=\{1,2,3,4,5\} e \clubsuit è l'operazione binaria su X\mbox{x} X definita da x\clubsuit y=x per ogni (x,y)\in X.

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SEMIGRUPPO

Definizione: chiamiamo semigruppo una qualsiasi struttura algebrica (X,\bullet) con una operazione binaria \bullet associativa, cioè tale che per ogni x,y,z\in X risulti

x\bullet (y\bullet z)=(x\bullet y) \bullet z

Commento: per avere un semigruppo, si considera un insieme su cui sia definita un'operazione binaria che gode della proprietà associativa. Stop. Nota che un semigruppo è sempre una struttura algebrica, mentre non vale il viceversa.

Esempio: l'operazione binaria \clubsuit definita in precedenza è associativa, infatti

x\clubsuit (y\clubsuit z)=x\clubsuit y=x

e

(x\clubsuit y)\clubsuit z=x\clubsuit z=x

quindi (X,\clubsuit) definito in precedenza è un semigruppo.

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MONOIDE

Definizione: un monoide è un semigruppo (M,\bullet) munito di un elemento neutro rispetto a \bullet, cioè un elemento \Omega\in M tale che per ogni m\in M risulta

\Omega\bullet m=m=m\bullet \Omega

Commento: un monoide è, sostanzialmente, una struttura algebrica dotata di un'operazione binaria associativa tale da avere un particolare elemento dell'insieme che funziona da identià rispetto all'operazione considerata.

Esempio 1: il semigruppo (X,\clubsuit) considerato precedentemente non è un monoide, perché non esiste alcun elemento dell'insieme X tale da essere elemento neutro rispetto all'operazione \clubsuit

Esempio 2: l'insieme dei numeri naturali, zero incluso: N_{0} dotato dell'operazione di somma standard +, (N_{0},+) è un monoide, in quanto la somma è associativa e l'elemento neutro rispetto alla somma è 0\in\mathbb{N}_0.

Esempio 3: l'insieme dei numeri naturali, zero escluso: N dotato dell'operazione di somma standard +, (N,+) non è un monoide, in quanto la somma è associativa ma non contiene l'elemento neutro rispetto alla somma.

Importante: ciò che trae spesso in inganno è pensare all'elemento neutro come a un elemento che appartiene/non appartiene all'insieme. Non è solo questo il punto: un elemento che è elemento neutro rispetto ad un'operazione potrebbe non esserlo rispetto ad un'altra.

Esempio 4: l'insieme dei numeri naturali, zero incluso: N_{0} dotato dell'operazione binaria \star, (N_{0},\star), definita da

n\star m = n + m + 1

non è un monoide in quanto non contiene l'elemento neutro rispetto all'operazione \star.

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Ho messo molta carne al fuoco, e alcuni punti potrebbero sembrare delle sottigliezze, ma sono cruciali per la comprensione dei successivi argomenti. Fammi sapere se è tutto chiaro...emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, CarFaby, Chiò

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #46287

avt
pepe
Cerchio
Ciao a tutti!
Qualcuno può gentilmente spiegarmi in modo semplice le definizioni di: struttura algebrica, gruppo, anello e corpo? Ho cercato negli appunti d YM ma non ho capito comunque...
Grazie! emt

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #46373

avt
Omega
Amministratore
Ciao Pepe emt

in generale è buona norma esporre i propri dubbi nello specifico e non dire solamente la definizione che non si è capita, ma anche cosa nello specifico non si è capito è capito e perché.

La definizione di struttura algebrica la trovi poche righe sopra. Qui comincio con la definizione di

GRUPPO

Diciamo gruppo un insieme G dotato di un'operazione binaria *:G\times G\to G che soddisfa le seguenti proprietà:

1) * è associativa, vale a dire che comunque presi a,b,c\in G risulta che a*(b*c)=(a*b)*c.

2) Esiste un elemento neutro rispetto a * in G, che chiamiamo 1_G\in G (in notazione moltiplicativa) o 0_G (in notazione additiva), cioè un elemento tale che per ogni g\in G risulta 1_G* g=g=g* 1_G.

3) Esistenza dell'inverso: per ogni elemento g\in G esiste un elemento h\in G che sia inverso di g rispetto a *, ossia tale per cui g*h=1_G=h*g.

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In sintesi un gruppo è un monoide in cui tutti gli elementi sono invertibili rispetto all'operazione binaria considerata.

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C'è anche uno speciale tipo di gruppi, i cosiddetti GRUPPI ABELIANI (o GRUPPI COMMUTATIVI), in cui l'operazione * soddisfa le proprietà 1), 2), 3) ed è commutativa:

4) per ogni a,b\in G risulta che a*b=b*a.

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ESEMPI DI GRUPPI:

- (\mathbb{Z},+) dotato dell'usuale operazione di somma tra interi relativi è un gruppo, e in particolare è un gruppo abeliano. Allo stesso modo sono gruppi additivi (\mathbb{Q},+), (\mathbb{R},+) e (\mathbb{C},+)

- (\mathbb{Q},\cdot) dotato dell'usuale moltiplicazione tra numeri razionali NON è un gruppo, perché l'elemento 0 non ammette inverso moltiplicativo in \mathbb{Q}.

- (\mathbb{Q}^{*},\cdot), dove \mathbb{Q}^{*}:=\mathbb{Q}-\{0\}, dotato dell'usuale moltiplicazione tra numeri razionali è un gruppo.

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Tutto chiaro fin qui?
Ringraziano: CarFaby, Chiò, Mers

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #72795

avt
Chiò
Cerchio
Ciao Omega ho letto tutta la discussione, un dubbio banalissimo, ma come va letto il simbolo *?

Re: Rudimenti di Algebra: relazioni binarie, di equivalenza, strutture algebriche, gruppi, campi... #72807

avt
Galois
Amministratore
Ciao Chiò emt

Il simbolo * si usa per indicare una generica operazione di un gruppo. Proprio per questo si evitano simboli tipo +, \ \times, \ \cdot i quali sono i simboli "standard" utilizzati per alcune specifiche operazioni.

Generalmente il simbolo * lo si legge (almeno il mio professore e di conseguenza anche io l'ho sempre letto così) "star" proprio perché la sua forma ricorda quella di una stella emt
Ringraziano: CarFaby, Chiò
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Os