teorema sulle matrici

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teorema sulle matrici #4633

avt
mery
Cerchio
Ciao a tutti ragazzi,

Fra gli appunti di matematica ho trovato il seguente teorema sulle matrici:

-se A è diverso da 0,
B è diverso da 0,
AB =0
-allora non esiste A-1 e non esiste B -1

Quello che mi chiedo è :le due condizioni cioè A e B diversi da 0 devono valere contemporaneamente?
Ad esempio se solo A=0, B è invertibile?
 
 

Re: teorema sulle matrici #4636

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mery, per prima cosa ragiona per assurdo per dimostrare il risultato: se per assurdo supponiamo che esiste A^{-1}, allora molitplicando a sinistra e a destra l'uguaglianza AB=0 per A^{-1} si trova A^{-1}AB=0, ossia IdB=0 ossia B=0, da cui l'assurdo.

Per mostrare che non esiste B^{-1}, si ragiona in maniera del tutto analoga.

Le due condizioni A\neq 0\neq B devono valere contemporaneamente. Se una delle due matrici, ad esempio A, è identicamente nulla, non puoi dire nulla riguardo l'invertibilità di B.

Esempi: sul teorema

\left[\begin{matrix}1&0\\ 0&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]

Sulla tua domanda

\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&0\\ 0&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]

dove la seconda matrice del prodotto è la matrice identità, ed è invertibile, mentre in

\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&0\\ 0&0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]

la seconda matrice del prodotto non è invertibile.
Ringraziano: frank094

Re: teorema sulle matrici #4639

avt
mery
Cerchio
Se io ho questa domanda, essa è vera o falsa?Perchè?
-se AB=0 e |A|è diverso da 0, allora B è invertibile

Re: teorema sulle matrici #4642

avt
Omega
Amministratore
Ah, ma stiamo parlando dell'altro topic...chiudiamo qui, torniamo là. emt
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Os