Dimostrare che radice di 2 non è razionale

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Dimostrare che radice di 2 non è razionale #46290

avt
pepe
Cerchio
Ciao! Avrei bisogno di una dimostrazione: devo dimostrare che radice di 2 non è razionale.

È una domanda richiesta all'esame ma che nel libro non c'è! Ho cercato su internet ma quelle che ho trovate non mi sono molto chiare.

Grazie a tutti dell'aiuto!
 
 

Re: Dimostrare che radice di 2 non è razionale #46329

avt
Galois
Amministratore
Ciao Pepe!

A prima vista me ne vengono in mente due di dimostrazioni. Te le scrivo entrambe con la speranza che almeno una ti risulti chiara.

In ogni caso, prima di procedere con la dimostrazione vera e propria voglio innanzitutto richiamare alcuni concetti utili e indispensabili e inoltre dirti che in genere questo tipo di dimostrazioni si fanno per assurdo, cioè si suppone che la tesi non valga e si procede fino ad arrivare ad un assurdo (o contraddizione) che essendo dovuta alla negazione fatta all'inizio mi permette di dire che in realtà la tesi vale!


PREMESSE


Definizione 1

Siano a,b \in Z, \ a\neq 0 \ e \ b\neq0. Diremo che a divide b e scriveremo: a|b se e solo se

\exists q\in Z \mbox{ tale che } b=aq


Definizione 2

Un numero c si dice razionale se esistono

a,b \in Z, \ mcd(a,b)=1 \mbox{ tali che } c=\frac{a}{b}


Definizione 3

Siano a,b\inZ non entrambi nulli. Diremo che d=mcd(a,b) se e solo se:

\begin{cases}d\in N_{0} \\ d|a \mbox{ e } \ d|b \\ \forall c\in Z \mbox{ tale che } c|a \mbox{ e }c|b \ \Rightarrow \ c|d  \end{cases}


Teorema 1

Siano a,b \in Z non entrambi nulli.

mcd(a,b)=1 \ \Leftrightarrow \ \exists \ x,y\in Z \mbox{ tali che } ax+by=1


Teorema 2

Siano a,b,c \in Z non tutti nulli. Se a=bc allora b|a \mbox{ e } c|a


Teorema 3

Siano a,b \in Z non entrambi nulli. Se mcd(a,b)=1 allora mcd(a^{2}, b^{2})=1.


Teorema 4

Se a,b,c \in Z allora anche a(b+c) \in Z.


Mi scuso perché di sicuro quanto appena detto sicuramente ti è già noto, ma preferisco non dare nulla per scontato.

Dimostriamo che radice di 2 non è razionale (è irrazionale).


Prima dimostrazione

Supponiamo per assurdo che \sqrt{2} sia razionale. Allora per la definizione 2:

\exists a,b \in Z, \ mcd(a,b)=1 \mbox{ tale che } \sqrt{2}=\frac{a}{b}  .

Ne segue che:

a = b\sqrt{2}, con mcd(a,b)=1

Elevando al quadrato:

a^{2}=2b^{2}

grazie al teorema 3:

mcd(a^{2}, b^{2})=1

Allora, per il teorema 2 (visto che mcd(a^{2}, b^{2})=1 e a^{2}=2b^{2}) si ha:

2|a^{2} = a*a

e quindi 2|a.

Ma b^{2} non divide a^{2} (perché sono primi fra loro). Ne segue, per la definizione 1, che

\exists q\in Z \mbox{ tale che } a=2q.

Sostituendo il risultato trovato in a^{2}=2b^{2} si ha:

(2q)^{2}=2b^{2}

ovvero

4q^{2}=2b^{2}

e quindi b^{2}=2q^{2}.

Sempre per il teorema 2 si ha

2|b^{2}=b*b

e quindi 2|b.

Abbiamo così 2|a e 2|b, ovvero 2 è un divisore comune di a e di b. Pertanto

mcd(a,b)\geq2

ASSURDO! (In quanto avevamo supposto mcd(a,b)=1).


Seconda dimostrazione

Supponiamo per assurdo che \sqrt{2} sia razionale. Allora per la definizione 2

\exists a,b \in Z, \ mcd(a,b)=1 \mbox{ tali che } \sqrt{2}=\frac{a}{b}  .

Ora, da  \sqrt{2}=\frac{a}{b} segue che

\sqrt{2}b=a \ \Rightarrow \ b=\frac{a}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow \ b=\frac{a\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow a\sqrt{2}=2b

Ovvero abbiamo trovato che:

a\sqrt{2} = 2b\ \ \  (*)

e

b\sqrt{2} = a\ \ \  (**)

Inoltre, poiché mcd(a,b)=1, per il teorema 1:

\exists \ x,y\in Z \mbox{ tali che } ax+by=1

Moltiplicando quest'ultima uguaglianza per \sqrt{2} si ha:

\sqrt{2} = \sqrt{2}ax + \sqrt{2}by = x(a\sqrt{2}) + y(b\sqrt{2}),

ossia:

\sqrt{2} =  x(a\sqrt{2}) + y(\sqrt{2}b)

Sostituendo in quest'ultima uguaglianza i risultati (*) e (**) si ha:

\sqrt{2} =  x(2b) + y(a) \in Z

in quanto 2,a,b,x,y sono interi e quindi per il teorema 4 sarà un intero anche:

x(2b) + y(a) = \sqrt{2}

Pertanto siamo arrivati a dire che:

\sqrt{2} \in Z

ma ciò è un ASSURDO in quanto avevamo supposto che \sqrt{2} fosse un razionale!


Spero di essere stato chiaro. Ti invito a studiare con calma queste due dimostrazioni. A prima vista possono sembrare difficili, ma se si hanno ben chiari i concetti che ho elencato inizialmente ti risulterà tutto chiaro e facile!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, pepe, CarFaby
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