Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra

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Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra #45027

avt
Gfalbo21
Punto
Mi potete dare una dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra? In pratica del teorema che stabilisce che ogni polinomio a coefficienti complessi, non costante, ammette almeno una radice complessa?

Vi ringrazio in anticipo!
 
 

Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra #45054

avt
Omega
Amministratore
Ciao Gfalbo,

esistono svariate dimostrazioni del teorema fondamentale dell'Algebra; qui di seguito te ne propongo una ma, per comprenderla appieno, è necessario che tu conosca:

- definizione e proprietà delle funzioni olomorfe;

- l'enunciato del primo teorema di Liouville che, per completezza, riporto qui di seguito:

Primo teorema di Liouville: se f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} è una funzione complessa di variabile complessa intera, ossia olomorfa in tutto il piano complesso, e limitata, allora f è costante in \mathbb{C}.

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per dimostrare il teorema fondamentale dell'Algebra il quale, come ben dici, afferma che:

se p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0

è un polinomio non costante, ossia di grado n \ge 1, allora esiste in \mathbb{C} una sua radice, ossia esiste z_0 \in \mathbb{C} tale che p(z_0)=0.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che il polinomio non costante p(z) non abbia radici, ossia supponiamo che

\forall  z \in \mathbb{C}: \ p(z) \neq 0

Tale supposizione consente di considerare la funzione

g(z)=\frac{1}{p(z)}

Ora, essendo p(z) una funzione olomorfa in tutto il piano complesso, per una proprietà delle funzioni olomorfe anche

g(z)=\frac{1}{p(z)}

è una funzione intera (in quanto il denominatore, per la supposizione fatta, non si annulla mai).

Indicando con \infty l'infinito complesso, consideriamo

\lim_{z\to \infty}{|g(z)|}=\lim_{z\to \infty}\left|\frac{1}{p(z)}\right|

che equivale a calcolare

\lim_{|z|\to +\infty}\left|\frac{1}{p(z)}\right|=0

Tale limite è zero in quanto

\lim_{|z|\to +\infty}|p(z)|=+\infty

essendo p(z) una funzione polinomiale.

Abbiamo allora che

\lim_{z\to \infty}{|g(z)|}=0

Ne consegue che g(z)=\frac{1}{p(z)} oltre ad essere una funzione intera è anche limitata.

Possiamo allora applicare il primo teorema di Liouville, in virtù del quale g(z) è una funzione costante.

Ma essendo

g(z)=\frac{1}{p(z)}=\mbox{ costante }

si ha che anche il polinomio p(z) deve essere costante. Ciò è però un assurdo, in quanto, per ipotesi, p(z) è un polinomio non costante.

Abbiamo quindi la tesi!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby

Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra #45079

avt
Gfalbo21
Punto
Chiarissimo, grazie!
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Os