c è radice di un polinomio se e solo se x-c divide il polinomio

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c è radice di un polinomio se e solo se x-c divide il polinomio #43435

avt
apophis79
Punto
In primis, rinnovo gli auguri di buon anno a tutti voi. Adesso veniamo al nocciolo della questione, è una proposizione che lega le radici reali di un polinomio con i divisori.

Tra una settimana devo dare l'esame di geometria e algebra lineare e stamattina mi sono imbattuto in una proposizione che riguardava i polinomi caratteristici che non riesco a dimostrare, nonostante abbia visto nei vari libri di testo in mio possesso. Siete la mia ultima speranza.

La proposizione è la seguente :

se c appartenente a R è una radice del polinomio p(x) <-> (x-c) divide p(x).

Devo dimostrare in entrambi i versi della proposizione.
Spero vogliate aiutarmi per l'ennesima volta.
Aspettando con ansia, vi porgo i più cordiali saluti.
Nicola.
 
 

c è radice di un polinomio se e solo se x-c divide il polinomio #43468

avt
Galois
Amministratore
Ciao Aphopis79 emt

Tanti auguri anche a te! emt

Non disperare! La dimostrazione della tua proposizione, solitamente conosciuta come teorema di Ruffini è molto semplice e quasi immediata.

Vediamola insieme.

\Rightarrow

Ricordiamo che, per definizione, c\in R è una radice del polinomio p(x) se e solo se p(c)=0

Quindi, sapendo ciò, dobbiamo dimostrare che (x-c) | p(x), dove con l'ultima scrittura si intende: "(x-c) divide p(x) "

Ora, per l'algoritmo della divisione tra polinomi, esistono i polinomi q(x) ed r(x), tali che:

p(x) = (x-c)*q(x) + r(x)

con 0\leq grado[r(x)] < grado[(x-c)].

Essendo, ovviamente, grado[(x-c)]=1, si ha, necessariamente che grado[r(x)]=0,

sicché, risulta:

0=p(c)=(c-c)*q(c)+r = 0*q(c)+r = r

ovvero abbiamo dimostrato che r=0 e quindi:

p(x)=(x-c)*q(x), pertanto:

(x-c) | p(x) che è quanto volevamo provare.

Vediamo ora l'implicazione inversa:

\Leftarrow

Per ipotesi (x-c) | p(x), quindi per l'algoritmo della divisione tra polinomi esiste q(x) polinomio tale che:

p(x) = (x-c)*q(x)

Ne segue che:

p(c)=(c-c)*q(c) = 0*q(c) = 0, ovvero siamo giunti ad avere:

p(c)=0, che, per definizione, equivale a dire che c è una radice di p(x).

Abbiamo quindi provato il teorema.

Spero di essere stato chiaro.

Se hai dubbi chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, apophis79

c è radice di un polinomio se e solo se x-c divide il polinomio #43473

avt
apophis79
Punto
Grazie Mille...adesso la studio per bene, e se ho dubbi non esiterò a chiederti lumi...^_^ ti ringrazio nuovamente.

Nicola.
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Os