c è radice di un polinomio se e solo se x-c divide il polinomio

In primis, rinnovo gli auguri di buon anno a tutti voi. Adesso veniamo al nocciolo della questione, è una proposizione che lega le radici reali di un polinomio con i divisori.

Tra una settimana devo dare l'esame di geometria e algebra lineare e stamattina mi sono imbattuto in una proposizione che riguardava i polinomi caratteristici che non riesco a dimostrare, nonostante abbia visto nei vari libri di testo in mio possesso. Siete la mia ultima speranza.

La proposizione è la seguente :

se c appartenente a R è una radice del polinomio p(x) <-> (x-c) divide p(x).

Devo dimostrare in entrambi i versi della proposizione.
Spero vogliate aiutarmi per l'ennesima volta.
Aspettando con ansia, vi porgo i più cordiali saluti.
Nicola.

Ciao Aphopis79

Tanti auguri anche a te!

Non disperare! La dimostrazione della tua proposizione, solitamente conosciuta come teorema di Ruffini è molto semplice e quasi immediata.

Vediamola insieme.



Ricordiamo che, per definizione, è una radice del polinomio se e solo se

Quindi, sapendo ciò, dobbiamo dimostrare che , dove con l'ultima scrittura si intende: " divide "

Ora, per l'algoritmo della divisione tra polinomi, esistono i polinomi ed , tali che:



con .

Essendo, ovviamente, , si ha, necessariamente che ,

sicché, risulta:



ovvero abbiamo dimostrato che e quindi:

, pertanto:

che è quanto volevamo provare.

Vediamo ora l'implicazione inversa:



Per ipotesi , quindi per l'algoritmo della divisione tra polinomi esiste polinomio tale che:



Ne segue che:

, ovvero siamo giunti ad avere:

, che, per definizione, equivale a dire che è una radice di .

Abbiamo quindi provato il teorema.

Spero di essere stato chiaro.

Se hai dubbi chiedi pure

Grazie Mille...adesso la studio per bene, e se ho dubbi non esiterò a chiederti lumi...^_^ ti ringrazio nuovamente.

Nicola.