Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41446

avt
carmine riccardo
Punto
Ciao a tutti, volevo chiedere una delucidazione sulla fattorizzazione in polinomi monici irriducibili.
Un esercizio richiede di fattorizzare questi due polinomi in Q[T] , R[T], C[T]: X^2 - 2 e X^6 - 1.

Se non è possibile svolgere i due polinomi nello stesso topic, potete anche svolgerne soltanto uno a vostra scelta. emt

Grazie mille per chi risponderà!
 
 

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41458

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao carmine riccardo.

Prendo il secondo esempio perché lo reputo più interessante emt

In \mathbb{Q}[x]

x^6-1= (x^3)^2-1 vedilo come una differenza di quadrati:

=(x^3-1)(x^3+1)

Hai una somma di cubi e una differenza di cubi:

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

mentre

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Ora sia il polinomio x^2+x+1, sia x^2-x+1 sono irriducibili in \mathbb{Q}[x] (Se calcoli gli zeri dei polinomi, ti accorgerai che non appartengono a Q)

In definitiva:

x^6-1= (x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

Ora ragioniamo in \mathbb{R}[x]. Possiamo utilizzare la fattorizzazione trovata in precedenza.

x^6-1= (x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

Non è ulteriormente riducibile in \mathbb{R}[x] (Sempre perché gli zeri dei polinomi di secondo grado non vivono in \mathbb{R}).

In \mathbb{C}[x] continua a valere la fattorizzazione precedente:

x^6-1= (x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

in questo caso però i polinomi x^2-x+1 e x^2+x+1 sono riducibili, infatti:


x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

mentre:

x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

Pertanto:

x^6-1= (x+1)(x-1)\left(x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)

Ricorda che in \mathbb{C}[x] ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 2 è sempre riducibile! emt

_______________

Per il secondo:

p(x)=x^2-2

Gli zeri di questo polinomio sono x_1= -\sqrt{2}, x_2= \sqrt{2}

In \mathbb{R}[x] si lascia fattorizzare come:

(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})

La stessa fattorizzazione vale per C[x], ma non va bene per Q[x], nota infatti che né \sqrt{2}-\sqrt{2} appartengono a Q[x].

Non esiste un vero e proprio metodo per fattorizzare un polinomio in Q[x], bisogna utilizzare le tecniche che si imparano alle scuole superiori emt

In \mathbb{R}[x] ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 3 è sempre riducibile. Si lascia esprimere come prodotto di polinomi che possono essere di primo grado oppure di secondo grado con \Delta<0

In \mathbb{C}[x] ogni polinomio di grado maggiore o uguale a due è sempre riducibile. Questo è dovuto al fatto che \mathbb{C} è un campo algebricamente chiuso emt
Ringraziano: Omega, carmine riccardo

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41474

avt
carmine riccardo
Punto
ti ringrazio sei stato veramente esauriente!! Sei una bestia! emt

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41488

avt
carmine riccardo
Punto
però riguardando mi è venuto un dubbio:
Ho capito perchè alcuni polinomi non sono riducibili in Q[X].
So che per il "teorema fondamentale del'algebra" che ogni polinomio di grado uguale o maggiore di 2 può essere fattorizzato nel campo dei complessi. Ma non ho capito perchè il primo esempio non poteva essere ulteriormente fattorizzato in R[X].
Alla fine quello che si otteneva calcolando gli zeri del polinomio non sono altro che numeri irrazionali.
Oppure sto dicendo una castroneria? emt

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41490

avt
Ifrit
Amministratore
Il polinomio

x^6-1

in \mathbb{R}[x] fattorizza come:

x^6-1=(x-1)(x+1)(1-x+x^2)(1+x+x^2)

Osserva che:

1-x+x^2 ha il discriminante negativo, quindi non può essere ulteriormente riducibile in \mathbb{R}[x], non ha radici reali!

lo stesso ragionamento vale anche per 1+x+x^2.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, carmine riccardo

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41491

avt
carmine riccardo
Punto
giusto, hai ragione!!!
Questa era veramente una castroneria!!
Ti ringrazio ancora!
emt

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41492

avt
carmine riccardo
Punto
ma io posso fare solo una domanda al giorno ,vero?? perchè avrei un altro piccolo dubbio ( su un'altra cosa), ma sicuramente non posso trattarla nel suddetto forum e non posso più farlo ora, vero?

Fattorizzazione in polinomi monici irriducibili, esercizio #41494

avt
Ifrit
Amministratore
Puoi aprire quante discussioni vuoi, l'importante è che tu ne ponga una per volta (nel senso che prima di aprire una nuova domanda, la precedente deve aver ricevuto risposta) emt
Ringraziano: Omega, carmine riccardo
  • Pagina:
  • 1
Os