Equazione frazionaria complessa di terzo grado

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Equazione frazionaria complessa di terzo grado #41031

avt
Anto93
Punto
Potreste darmi una mano nel capire come si risolve una equazione frazionaria complessa di questo tipo:

\frac{(z-i)^3}{(z+1)^3}=-i

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Equazione frazionaria complessa di terzo grado #41045

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anto93,

l'equazione fratta nell'incognita complessa z è

\frac{(z-i)^3}{(z+1)^3}=-i

e prima di procedere con una qualsiasi strategia risolutiva dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: il denominatore deve essere non nullo, ossia

(z+1)^3\ne 0\implies z\neq -1

Orbene, utilizziamo le proprietà delle potenze così che l'equazione si possa esprimere nella forma equivalente

\left(\frac{z-i}{z+1}\right)^3=-i

Tale passaggio suggerisce un particolare metodo risolutivo: determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la sostituzione

w=\frac{z-i}{z+1}

cosicché essa diventi

w^3=-i

A questo punto è sufficiente estrarre le tre radici cubiche di s=-i e per fare ciò abbiamo bisogno del modulo e dell'argomento di s.

Poiché s=-i è un numero immaginario puro con parte immaginaria negativa il suo modulo e il suo argomento sono rispettivamente

|s|=|-i|=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Arg(s)=Arg(-i)=\frac{3\pi}{2}

Tali valori consentono di calcolare le tre radici cubiche di s=-i mediante la formula

\\ w_{k}=\sqrt[3]{|s|}\left[\cos\left(\frac{Arg(s)+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(s)+2k\pi}{3}\right)\right]= \\ \\ \\ =\sqrt[3]{1}\left[\cos\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)\right]

dove k\in\{0,1,2\}. Rimpiazzando i valori di k e valutando le funzioni trigonometriche otteniamo le tre soluzioni in w

w_0=i \ \ \ ; \ \ \ w_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \ \ \ ; \ \ \ w_2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}

Attenzione! Dobbiamo ritornare nell'incognita z, ricordandoci della sostituzione fatta, che è w=\frac{z-i}{z+1}.

Dalla soluzioni w=i passiamo all'equazione in z

\frac{z-i}{z+1}=i\to z-i=i(z+1)

Distribuiamo l'unità immaginaria al secondo membro

z-i=iz+i

e risolviamo l'equazione di primo grado

z-iz=2i\to (1-i)z=2i

Dividiamo membro a membro per 1-i

z=\frac{2i}{1-i}

e scriviamo il secondo membro in forma algebrica moltiplicando e dividendo per il coniugato di 1-i, ossia

z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i-2}{2}=-1+i

Dalla soluzione w=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} si ottiene l'equazione

\frac{z-i}{z+1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}

Procediamo esattamente come per il caso precedente, moltiplicando i due membri per z+1 riconducendoci così ad una equazione di primo grado complessa. Dopo dei semplici calcoli otteniamo

\frac{2+\sqrt{3}+i}{2}z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}

da cui

z=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}i

Infine dalla soluzione w=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} deduciamo l'equazione in z

\frac{z+i}{z-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}

da cui

z=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, josel
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Os