Equazione frazionaria complessa di terzo grado

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Equazione frazionaria complessa di terzo grado #41031

avt
Anto93
Punto
Potreste darmi una mano nel capire come si risolve una equazione frazionaria complessa di questo tipo:

((z-i)^3)/((z+1)^3) = -i

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Equazione frazionaria complessa di terzo grado #41045

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anto93,

l'equazione fratta nell'incognita complessa z è

((z-i)^3)/((z+1)^3) = -i

e prima di procedere con una qualsiasi strategia risolutiva dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: il denominatore deve essere non nullo, ossia

(z+1)^3 ne 0 ⇒ z ≠-1

Orbene, utilizziamo le proprietà delle potenze così che l'equazione si possa esprimere nella forma equivalente

((z-i)/(z+1))^3 = -i

Tale passaggio suggerisce un particolare metodo risolutivo: determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la sostituzione

w = (z-i)/(z+1)

cosicché essa diventi

w^3 = -i

A questo punto è sufficiente estrarre le tre radici cubiche di s = -i e per fare ciò abbiamo bisogno del modulo e dell'argomento di s.

Poiché s = -i è un numero immaginario puro con parte immaginaria negativa il suo modulo e il suo argomento sono rispettivamente

|s| = |-i| = 1 e Arg(s) = Arg(-i) = (3π)/(2)

Tali valori consentono di calcolare le tre radici cubiche di s = -i mediante la formula

w_(k) = [3]√(|s|)[cos((Arg(s)+2kπ)/(3))+isin((Arg(s)+2kπ)/(3))] = [3]√(1)[cos(((3π)/(2)+2kπ)/(3))+isin(((3π)/(2)+2kπ)/(3))]

dove k∈0,1,2. Rimpiazzando i valori di k e valutando le funzioni trigonometriche otteniamo le tre soluzioni in w

w_0 = i ; w_1 = -(√(3))/(2)-(i)/(2) ; w_2 = (√(3))/(2)-(i)/(2)

Attenzione! Dobbiamo ritornare nell'incognita z, ricordandoci della sostituzione fatta, che è w = (z-i)/(z+1).

Dalla soluzioni w = i passiamo all'equazione in z

(z-i)/(z+1) = i → z-i = i(z+1)

Distribuiamo l'unità immaginaria al secondo membro

z-i = iz+i

e risolviamo l'equazione di primo grado

z-iz = 2i → (1-i)z = 2i

Dividiamo membro a membro per 1-i

z = (2i)/(1-i)

e scriviamo il secondo membro in forma algebrica moltiplicando e dividendo per il coniugato di 1-i, ossia

z = (2i(1+i))/((1-i)(1+i)) = (2i-2)/(2) = -1+i

Dalla soluzione w = -(√(3))/(2)-(i)/(2) si ottiene l'equazione

(z-i)/(z+1) = -(√(3))/(2)-(i)/(2)

Procediamo esattamente come per il caso precedente, moltiplicando i due membri per z+1 riconducendoci così ad una equazione di primo grado complessa. Dopo dei semplici calcoli otteniamo

(2+√(3)+i)/(2)z = (-√(3)+i)/(2)

da cui

z = (1-√(3))/(2)+(√(3)-1)/(2)i

Infine dalla soluzione w = (√(3))/(2)-(i)/(2) deduciamo l'equazione in z

(z+i)/(z-1) = (√(3))/(2)-(i)/(2)

da cui

z = (-1-√(3))/(2)+i(1+√(3))/(2)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, josel, Italo Calvino
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Os