Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro

Ciao ragazzi!
Sto provando a risolvere questo esercizio:

1-Stabilire per quali valori del parametro reale k i vettori v1,v2 e v3 sono linearmente dipendenti.
v1=(0,-k,2,3) v2=(h,2,0,1) v3=(1,1,2,h+3);

2- In corrispondenza di tale valore si determini la dimensione e una base dello spazio vettoriale U=L(v1,v2,v3).

All'inizio ho pensato di calcolare il determinante della matrice associata, ma non essendo quadrata...
Ringraziandovi in anticipo spero nel vostro aiuto!

Ciao Ing_nm

Difficilmente potrà esistere una sola coppia di parametri per i quali i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Credo che ci sia un problema nella traccia.

Hai ragione..chiedo venia! I vettori sono:
v1=(0,-k,2,3) v2=(k,2,0,1) v3=(1,1,2,k+3)

Ok, ora è chiaro!

I vettori dipendenti dal parametro sono dipendenti se e solo se la matrice avente tali vettori per riga (o per colonna, è lo stesso) non ha rango massimo. Il rango massimo per una matrice 3x4 è pari a tre.

Devi sostanzialmente imporre che la matrice abbia rango inferiore a , e ciò si verifica se e solo se tutti i minori di ordine di non sono invertibili, cioè se e solo se tutti i minori di ordine hanno determinante pari a zero.

Calcola dunque i determinanti dei quattro minori della matrice



e determina come richiesto dall'esercizio il valore di che li rende tutti nulli.

Per la seconda richiesta dell'esercizio, considera la matrice con pari al valore precedentemente determinato, e calcolane il rango. Esso ooincide con la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai tre vettori.

In alternativa (il che è più conveniente) riduci mediante eliminazione gaussiana e dai uno sguardo ai Pivot non nulli.

Il numero di pivot non nulli è proprio la dimensione del sottospazio generato dalle righe di .

Le righe della matrice NON ridotta corrispondenti alle righe della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base del sottospazio , infatti lo generano e sono linearmente indipendenti.

Ora è chiaro! Ti ringrazio per la disponibilità!