Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro

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Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro #39455

avt
ing_nm
Punto
Ciao ragazzi!
Sto provando a risolvere questo esercizio:

1-Stabilire per quali valori del parametro reale k i vettori v1,v2 e v3 sono linearmente dipendenti.
v1=(0,-k,2,3) v2=(h,2,0,1) v3=(1,1,2,h+3);

2- In corrispondenza di tale valore si determini la dimensione e una base dello spazio vettoriale U=L(v1,v2,v3).

All'inizio ho pensato di calcolare il determinante della matrice associata, ma non essendo quadrata...
Ringraziandovi in anticipo spero nel vostro aiuto! emt
 
 

Re: Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro #39474

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ing_nm emt

Difficilmente potrà esistere una sola coppia di parametri h,k per i quali i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Credo che ci sia un problema nella traccia.

Re: Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro #39496

avt
ing_nm
Punto
Hai ragione..chiedo venia!emt I vettori sono:
v1=(0,-k,2,3) v2=(k,2,0,1) v3=(1,1,2,k+3)

Re: Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro #39505

avt
Omega
Amministratore
Ok, ora è chiaro! emt

I vettori v_1,v_2,v_3 dipendenti dal parametro k sono dipendenti se e solo se la matrice A avente tali vettori per riga (o per colonna, è lo stesso) non ha rango massimo. Il rango massimo per una matrice 3x4 è pari a tre.

Devi sostanzialmente imporre che la matrice A abbia rango inferiore a 3, e ciò si verifica se e solo se tutti i minori di ordine 3 di A non sono invertibili, cioè se e solo se tutti i minori di ordine 3 hanno determinante pari a zero.

Calcola dunque i determinanti dei quattro minori della matrice

A=\left[\begin{matrix} 0 & -k & 2 & 3 \\ k & 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2 & k+3\end{matrix}\right]

e determina come richiesto dall'esercizio il valore di k che li rende tutti nulli.

Per la seconda richiesta dell'esercizio, considera la matrice con k pari al valore precedentemente determinato, e calcolane il rango. Esso ooincide con la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai tre vettori.

In alternativa (il che è più conveniente) riduci mediante eliminazione gaussiana A e dai uno sguardo ai Pivot non nulli.

Il numero di pivot non nulli è proprio la dimensione del sottospazio generato dalle righe di A.

Le righe della matrice NON ridotta corrispondenti alle righe della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base del sottospazio U, infatti lo generano e sono linearmente indipendenti. emt
Ringraziano: ing_nm, 3²+4²=5²

Re: Esercizio sulla lineare dipendenza con parametro #39517

avt
ing_nm
Punto
Ora è chiaro! Ti ringrazio per la disponibilità! emt
Ringraziano: Omega
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Os