Problema con operazione associativa in un gruppo

Scusate ma non ho capito un passaggio di questo esercizio sulla verifica di un gruppo, ho problemi con l'associatività dell'operazione.

Nell'insieme Q è definita l'operazione * ponendo

x*y = 2x+y

Quando vado a controllare se questo è un gruppo devo sviluppare alcune proprietà, come ad esempio quella associativa:

siano x,y e z, tre elementi generici di Q risulta,

(x*y)*z=(2x+y)*z=2(2x+y)+z=4x+2y+z

ed x*(y*z)=x*(2y+z)=2x+2y+z.

Forse la domanda sarà banale, comunque chiedo delle spiegazioni riguardo ad alcuni calcoli presenti nella prima parte della proprietà in cui si sostituisce a (*z)=2(2x+y)+z.

E perché nella seconda parte venga sostituito a x*(2y+z)=2x+2y+z ?

Grazie in anticipo

Ciao Anto93

[Mod] Sposto la discussione da "Algebra Lineare" ad "Algebra". [/Mod]

Affinché un insieme dotato di un'operazione binaria sia un gruppo, è necessario che siano soddisfatte tre condizioni:

1) l'operazione deve essere associativa;

2) l'insieme deve contenere l'elemento neutro rispetto all'operazione , che indichiamo con (notazione moltiplicativa);

3) per ogni elemento diverso dall'elemento neutro, , deve esistere tale che (esistenza dell'inverso moltiplicativo).

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La verifica dell'associatività è ok, per capire il motivo del passaggio





è sufficiente fare attenzione alla definizione dell'operazione binaria definita in :



dove le operazioni che definiscono sono l'usuale prodotto di numeri razionali e l'usuale somma di numeri razionali.

In soldoni, quando scrivi



devi proprio applicare la definizione di : prendi il doppio del primo elemento e lo sommi al secondo elemento



Tutto qui. Stesso discorso per la verifica dell'associatività relativa a



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Fammi sapere se con l'elemento neutro e con l'inverso ci sei oppure no.

Ciao Anto93!

Dipende tutto da come è stata definita l'operazione *



Ora devi ragionare "per posizioni" la x è in prima posizione, la y in seconda posizione nel primo membro. Il termine nella prima posizione viene moltiplicato per due e sommato al termine che si trova in seconda posizione.

Consideriamo ora la proprietà associativa:



Cominciamo con lo sviluppare la parentesi:



dunque:



Chiediti ora, chi è che sta al primo posto e chi al secondo,






Sviluppiamo i conti:




Consideriamo l'altro caso:



Iniziamo con la parentesi:



quindi:




Come prima, chi è l'elemento al primo posto? e chi al secondo? "Che fine fanno?"



(il termine in rosso viene moltiplicato per due dopodiché sommiamo il termine in blue)



Non vale la proprietà associativa perché i due termini non coincidono!

Scusate e se avessi a*b=a+b+1 nello svolgimento delle proprietà come andrei a sostituire?

Allo stesso modo, come ti abbiamo suggerito in precedenza devi ragionare per "posizioni".





In questo caso vale la proprietà associativa

Grazie mille.Gentilissimi e disponibili come sempre.