Relazione binarie: proprietà antisimmetrica

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Relazione binarie: proprietà antisimmetrica #3802

avt
mery
Cerchio
Dovrei risolvere un esercizio in cui mi si chiede di esaminare l'antisimmetria di alcune relazioni binarie definite sull'insieme dei numeri interi. Come dovrei procedere?

Siano R_1,\,R_2,\,R_3,\,R_4 le relazioni binarie sull’insieme \mathbb{Z} dei numeri interi relativi definite come segue per ogni n,m\in\mathbb{Z}:

\\ (a)\ \ \ nR_1m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ |n| = |m|\\ \\ (b)\ \ \ nR_2m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n\leq m\\ \\ (c) \ \ \ nR_3m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n^{2}=m^{2}\\ \\ (d)\ \ \ nR_4m\ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n^{3}=m^{3}

Quale tra di esse gode della proprietà antisimmetrica?

Grazie mille.
 
 

Relazione binarie: proprietà antisimmetrica #3810

avt
Omega
Amministratore
Prima di dedicarci ai calcoli, proponiamo una breve parentesi teorica.

Sia X un insieme non vuoto e sia R una relazione binaria definita su X.

Diremo che R è una relazione antisimmetrica se e solo se per definizione sussiste la seguente proprietà: se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora i due elementi coincidono, ossia a=b. In simboli matematici, questa definizione si traduce come segue:

aRb \ \wedge \ bRa \ \ \ \implies \ \ \ a=b

dove \wedge è il connettivo logico "e".

(a) Consideriamo la relazione R_1 definita sull'insieme dei numeri interi così definita:

nR_1m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ |n|=|m|

(A parole: n è in relazione con m se e solo se hanno lo stesso modulo.)

Trattiamo |n|=|m| alla stregua di un'equazione con valore assoluto

|n|=|m| \ \ \ \to \ \ \ n=-m \ \ \ \vee \ \ \ n=m

Oltre all'uguaglianza n=m, figura anche n=-m, con cui siamo in grado di costruire il controesempio che invalida la definizione di relazione antisimmetrica.

Se m=4 allora da n=-m segue che n=-4. Chiaramente -4 è in relazione con 4, così come lo è 4 con -4, infatti:

\\ (-4)R_1 4 \ \ \ \to \ \ \ |-4|=|4| \ \ \mbox{Vero}!\\ \\ 4R_1(-4) \ \ \ \to \ \ \ |4|=|-4| \ \ \ \mbox{Vero}!

Attenzione! Non è vero però che -4=4, per cui la relazione R_1 non è antisimmetrica.


(b) Consideriamo la relazione R_2 così definita:

nR_2m\ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n\le m \ \ \ \mbox{per ogni} \ n,m\in\mathbb{Z}

(A parole, n è in relazione con m se e solo se n è minore o al più uguale di m.)

Se n è in relazione con m e m è in relazione con n, allora devono valere le seguenti implicazioni:

\\ nRm \ \ \ \to \ \ \ n\le m\\ \\ \mbox{e} \\ \\ mRn \ \ \ \to \ \ \ m\le n

Devono quindi sussistere contemporaneamente le disuguaglianze

n\le m \ \ \ \mbox{e} \ \ \ m\le n

ossia

n\le m \le n \ \ \ \to \ \ \ n=m

Possiamo concludere quindi che R_2 è una relazione antisimmetrica.


(c) Consideriamo la relazione R_3 definita come segue:

nR_3m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n^2=m^2

(A parole: n è in relazione con m se e solo se il quadrato di n è uguale al quadrato di m.)

Se nR_3m e mR_3n devono valere le condizioni

n^2=m^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ m^2=n^2

le quali sono riassumibili nell'unica equazione m^2=n^2 da cui

n=m \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ n=-m

Oltre all'uguaglianza richiesta dalla definizione di relazione antisimmetrica (n=m), compare anche l'uguaglianza n=-m che possiamo sfruttare per creare un controesempio.

Se m=4 allora da n=-m segue che n=-4.

Chiaramente 4\ \mbox{e} \ -4 sono in relazione, infatti:

4R_3(-4)\ \ \ \leftrightarrow \ \ \ 4^2=(-4)^2

così come -4 è in relazione con 4

(-4)R_34 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ (-4)^2=4^2

epperò l'uguaglianza 4=-4 è chiaramente falsa.

Possiamo concludere che R_3 non è una relazione antisimmetrica su \mathbb{Z}.


(d) Esaminiamo l'ultima relazione R_4 così definita:

nR_4m \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ n^3=m^3

(A parole: due numeri interi sono in relazione tra loro se e solo se hanno gli stessi cubi.)

Se n è in relazione con m e viceversa, devono valere contemporaneamente le relazioni

n^3=m^3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ m^3=n^3

che, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, si riduce a:

n^3=m^3\ \ \ \iff \ \ \ n=m

Possiamo concludere che R_4 è una relazione antisimmetrica.

Abbiamo finito.
Ringraziano: frank094

Relazione binarie: proprietà antisimmetrica #3862

avt
mery
Cerchio
Grazie mille.
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Os