Esercizio sui polinomi a coefficienti in Z_3

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Esercizio sui polinomi a coefficienti in Z_3 #36064

avt
Giulialg88
Punto
Salve, vorrei sapere gentilmente come si svolge questo esercizio sui polinomi a coefficienti nell'anello delle classi di resto Z_3.

Si consideri il sottoinsieme

A=\{ax^{3}+bx^{2}+cx+d\ \forall \  a,b,c,d \in   Z_{3}\}\subset Z_{3}[x]

e, per ogni f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d \in   A, si ponga

f'=3ax^{2}+2bx+c.

Caratterizzare i polinomi che costituiscono

B=\{f \in   A \mbox{ tale che } f'=0\}

in termini dei loro coefficienti (ciò che si chiede è dunque determinare condizioni necessarie e sufficienti su a,b,c,d affinché un polinomio f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d \in   A appartenga a B).

Quanti sono gli elementi di B? Determinare la forma dei polinomi f \in   B che sono:

i) divisibili per x;

ii) divisibili per x-1;

iii)divisibili per x+1;

Tra i polinomi in B, quanti sono quelli invertibili in Z_{3}[x]?

E quanti quelli irriducibili?
 
 

Esercizio sui polinomi a coefficienti in Z_3 #36093

avt
Giulialg88
Punto
Il regolamento l'ho letto e ho provato ad usare latex ma senza successo,qualcuno può aiutarmi?
Posso magari allegare una foto dell'esercizio?

Esercizio sui polinomi a coefficienti in Z_3 #36094

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giulialg88 emt

Vediamo come risolvere: per prima cosa ci interessa dare un volto agli elementi del sottoinsieme B, che è l'insieme dei polinomi di \maathbb{Z}_3[X] con derivata identicamente nulla su \mathbb{Z}_3.

Chiediamo quindi che

3ax^2+2bx+c=0

Notiamo che, essendo in \mathbb{Z}_3[X]

3a=0

perché è naturalmente divisibile per 3. Scriviamo per esteso le possibili valutazioni del polinomio 2bx+c=0 in \mathbb{Z}_3[X] e imponiamo che siano nulle:

x=0\Rightarrow c=0

x=1\Rightarrow 2b+c=0

x=2\Rightarrow 4b+c=0

Ne ricaviamo b=0=c, quindi tutti e soli i polinomi di B sono della forma

ax^3+d con a,d\in\mathbb{Z}_3.

Possiamo elencare tutti i polinomi di B:

0

1

2

x^3

x^3+1

x^3+2

2x^3

2x^3+1

2x^3+2

Per quanto riguarda gli elementi divisibili per x, o per x-1 o per x+1 è sufficiente fare riferimento al criterio "radice-divisore": p\in \mathbb{K}[X] è una radice di r(x)\in \mathbb{K}[X] se e solo se (x-p)\ | \ r(x).

Per trovare gli elementi divisibili per x, basta prendere i polinomi di B che hanno x=0 come radice:

0,x^3,2x^3

Per trovare gli elementi divisibili per x+1, basta prendere i polinomi di B che hanno x=2 come radice:

x^3+1,2x^3+2

Per trovare gli elementi divisibili per x-1, basta prendere i polinomi di B che hanno x=1 come radice:

x^3+2,2x^3+1

Gli unici elementi irriducibili di \mathbb{Z}_3[X] sono, per esclusione

1,2

Per gli elementi invertibili, facciamo riferimento ad un noto teorema: dato un dominio di integrità A e preso A[X], tutti e soli gli elementi invertibili di A[X] sono tutti e soli gli elementi invertibili di A, e se in particolare A è un campo allora tutti e soli gli elementi invertibili di A[X] sono gli elementi non nulli di A.

Gli unici elementi invertibili di B\subset Z_3[X] sono dati da

1,2

Ecco fatto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Giulialg88, CarFaby, ago
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Os