Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale

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Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #33327

avt
myself
Punto
Ciao, avrei un dubbio sugli insiemi di generatori per spazi e sottospazi vettoriali, di cui ho sentito parlare in una lezione di Matematica a cui ho assistito...

Se ho ben capito, dato uno spazio vettoriale V, l'insieme dei generatori di tale spazio vettoriale è costituito dagli elementi che combinati linearmente tra di loro, danno origine a tutti gli altri...

Il mio dubbio si riferisce al seguente esempio: ho i vettori

\left[\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 \\ -2 \end{matrix}\right]

e devo dimostrare che sono generatori di R^2 (La R sta per "Reali", 2 indica il numero di componenti dei vettori).

Quindi creo la combinazione lineare e cerco di ottenere un generico vettore "v":

v1= a1+a3

v2=a1+a2-2a3

(a= coefficiente delle combinazione lineare, v=vettore)

da cui ottengo

a1=v1-a3

a2=3a3+v2-v1

A questo punto, come faccio a dire che i vettori dati sono i generatori di R^2?

Grazie in anticipo per la risposta...
 
 

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #33330

avt
Omega
Amministratore
Ciao Myself emt

Immagino che le lezioni siano cominciate da poco, dunque se nella mia spiegazione dovessi fare riferimento a nozioni che non hai ancora studiato dimmelo pure (saranno comunque anticipazioni di cose che vedrai a breve nel corso emt ).

Se ho ben capito, dato uno spazio vettoriale V, l'insieme dei generatori di tale spazio vettoriale è costituito dagli elementi che combinati linearmente tra di loro, danno origine a tutti gli altri...

Hai capito bene. emt

Per mostrare che i tre vettori w,u,l costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^2 senza ricorrere alle nozioni di indipendenza lineare, dimensione, rango di matrici e quant'altro, è sufficiente ricorrere alla definizione. E' proprio quel che hai fatto tu. Si tratta di vedere ogni vettore v=[v_1,v_2]\in\mathbb{R}^2 è esprimibile come combinazione lineare dei vettori w,u,l.

In modo del tutto equivalente, sapendo che e_1=[1,0],e_2=[0,1] è una base di \mathbb{R}^2, ci basta far vedere che i tre suddetti vettori generano i due elementi di tale base mediante opportune combinazioni lineari. Se questo è vero - per linearità - i tre vettori generano un qualsiasi elemento dello spazio vettoriale \mathbb{R}^2

Consideriamo tre generici scalari a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}, e imponiamo

a_1w+a_2u+a_3l=e_1

e

a_1w+a_2u+a_3l=e_2

Tali uguaglianze sono equazioni vettoriali, e corrispondono entrambe ad un sistema lineare in cui il vettore delle incognite è [a_1,a_2,a_3]. Se per ciascuno dei precedenti sistemi lineari esiste almeno una soluzione, i tre vettori w,u,l costituiscono sicuramente un sistema di generatori per \mathbb{R}^2.

Scriviamo, ad esempio, la prima equazione vettoriale in forma estesa

a_1\left[\begin{matrix}1\\ 1 \end{matrix}\right]+a_2\left[\begin{matrix}0\\ 1 \end{matrix}\right]+a_3\left[\begin{matrix}1\\ -2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix}\right]

ossia, per definizione di somma di vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare

\left[\begin{matrix}a_1+a_3\\ a_1+a_2-2a_3 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix}\right]

Il corrispondente sistema lineare è

\begin{cases}a_1+a_2=1\\ a_1+a_2-2a_3=0\end{cases}

Tale sistema lineare è indeterminato (ammette infinite soluzioni), dunque [1,0]\in Span(\{u,w,l\}). ("Span" indica proprio il sottospazio generato da").

Nel caso di [0,1], devi procedere in modo analogo, e ottieni un analogo risultato.

I tre vettori costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^2, perché generano i vettori di una data base di \mathbb{R}^2. emt
Ringraziano: Pi Greco, myself, paperino

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #33334

avt
myself
Punto
Grazie mille per la risposta.... mi è tuttavia ancora rimasto un dubbio relativo al primo metodo di risoluzione (quello che avevo scritto io)

qual'è il passaggio logico che mi permette di passare dal sistema ottenuto sviluppando la combinazione lineare all'affermazione: "tutti i generici vettori sono ottenuti dalla combinazione lineare dei tre vettori dati".

non riesco a capire come interpretare il risultato del sistema costituito dalle equazioni:
a1=v1-a3
a2=3a3+v2-v1

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #33335

avt
Omega
Amministratore
Riscrivere

{tex}\begin{cases}v_1= a_1+a_3\\
v_2=a_1+a_2-2a_3 \end{cases}{/tex}

come

{tex}\begin{cases}a_1= v_1-a_3\\
a_2=3a_3+v_2-v_1 \end{cases}{/tex}

significa legare il valore dei coefficienti a_1,a_2,a_3 alle componenti v_1,v_2del generico vettore, che in questo contesto devi considerare come numeri fissati.

La domanda che devi porti è: comunque prendo un vettore v, e dunque comunque prendo due valori reali v_1,v_2, il sistema

{tex}\begin{cases}a_1= v_1-a_3\\
a_2=3a_3+v_2-v_1 \end{cases}{/tex}

ammette almeno una soluzione? Cioè: posso trovare almeno una terna di coefficienti a_1,a_2,a_3 per cui v sia combinazione lineare dei tre vettori dati \{u,w,l\} ?

La risposta è sì: puoi vedere facilmente, nell'ultimo sistema, che considerando v_1,v_2 come valori costanti, comunque scegliamo a_3 otteniamo specifici valori per a_1,a_2.

In realtà la terza incognita a_3 è libera di assumere qualsiasi valore, ed è per questo motivo abbiamo a che fare con un sistema indeterminato. In parole povere, per ciascun vettore [v_1,v_2] non abbiamo una sola scelta per a_1,a_2,a_3, bensì infinite! Tutte le infinite terne che permettono di ottenere v=[v_1,v_2] come combinazione lineare dei tre vettori dipendono dall'arbitraria scelta del valore dell'incognita a_3.

Infinite soluzioni, dunque almeno una: i tre vettori generano tutto lo spazio \mathbb{R}^2.
Ringraziano: Pi Greco, myself, paperino

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #33336

avt
myself
Punto
ora è tutto chiaro... grazie mille!!
Ringraziano: Omega, paperino

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #37235

avt
paperino
Frattale
quando viene detto che

''tale sistema lineare è indeterminato (ammette infinite soluzioni)''

non dovrebbe dirsi ''indeterminato: infinito a una soluzioni''?

nelle mie riminiscenze dalle lezioni, ricordo che dato un sistema con 3 incognite (nel nostro caso a_{1},a_{2},a_{3}) in 2 equazioni, il grado di libertà delle soluzioni veniva dato da una differenza

3 - 2 = 1

ma non so se mi sbaglio o meno xD

potete dirmi se è cosi o no? xD

Re: Insieme dei generatori di uno spazio vettoriale #37238

avt
Omega
Amministratore
Ciao Paperino emt

Il numero di gradi di libertà è il "numero di infiniti" dello spazio delle soluzioni.

Il discorso fatto con Myself all'epoca della qui presente discussioni era volutamente vago, perché lo stesso Myself era agli esordi nello studio dell'Algebra Lineare.

Si può dire, genericamente, che un sistema è indeterminato senza specificare il numero di infiniti delle soluzioni; in alternativa, se il sistema è indeterminato, si può dire che ammette \infty^k soluzioni a seconda del numero k di gradi di libertà del sistema.

---

Non è comunque vero, in generale, che un sistema di due equazioni in tre incognite ammette sempre \infty^1 soluzioni. Questo è vero se e solo se le due equazioni sono linearmente indipendenti tra loro.

Considera, ad esempio, il sottospazio di \mathbb{R}^3 definito da

\{(x,y,z)\mbox{ t.c. }x+2y=0\mbox{, }2x+4y=0\}

in questo caso abbiamo \infty^{2} soluzioni. emt
Ringraziano: paperino
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Os