Sottogruppi di ordine 6 e 3 in S4

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Sottogruppi di ordine 6 e 3 in S4 #32956

avt
EfreetJunon
Punto
Di nuovo ciao a tutti, un esercizio riporta: nel gruppo \mathbb{S}_{4}, trovare i sottogruppi di ordine 3 e quelli di ordine 6.

La mia teoria al riguardo dell'ordine 6, è che \mathbb{S}_{4} dovrebbe avere al massimo sottogruppi di ordine 5.

(Vorrei far presente una cosa. Spero di non monopolizzare il forum, vedo persone che postano esercizi e che giustamente ci restano dietro più tempo. Ho la certezza ci siano persone più urgenti da seguire di me, quindi se qualcuno volesse rispondere può farlo in totale tranquillità e calma).

Non so se vi ho commosso... O fatto pena!
 
 

Sottogruppi di ordine 6 e 3 in S4 #33682

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Efreet,

chiedo scusa se rispondo così tardi, ma le mie conoscenze di algebra sono molto poche. Tuttavia, mi ricordavo che gli algebristi hanno una passione per la classificazione dei gruppi e dopo un po' ho scoperto un link su wikipedia che spero possa esserti utile.

Anzitutto ti dico che il gruppo alterno \mathbb{A}_{n} ha di ordine 12 (in generale il gruppo alterno \mathbb{A}_{n} è il sottogruppo di \mathbb{S}_{n} formato dalle permutazioni pari e ha cardinalità \frac{n!}{2}), ma questo non basta per classificare i gruppi di ordine 3 e 6.

Ti scrivo il link:

groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_structure_of_symmetric_group:S4

guarda alla voce "Table classifying isomorphism types of subgroups".

Se ho ben capito ci sono 4 sottogruppi di ordine 3 e 4 sottogruppi di ordine 6. I sottogruppi di ordine 6 sono isomorfi a \mathbb{S}_{3} quindi hanno i seguenti elementi

\{id,(12),(13),(23),(123),(132)\}\\ \\ \{id,(14),(13),(43),(143),(134)\}\\ \\ \{id,(12),(14),(24),(124),(142)\}\\ \\ \{id,(42),(43),(23),(423),(432)\}

Mentre i sottogruppi di ordine 6 sono isomorfi al gruppo ciclico \mathbb{Z}_{3}, ossia i gruppi ciclici di ordine 3.

Poiché gli elementi di ordine 3 di \mathbb{S}_{4} sono (123),(134),(234),(124) quindi i sottogruppi di \mathbb{S}_{4} di ordine 3 saranno i sottogruppi ciclici generati da (123),(134),(234),(124).

La mia è una spiegazione non molto matematica, in quanto presume che quello che sia scritto su wikipedia sia giusto, inoltre non ho dimostrato che questi sono i soli sottogruppi di ordine 3 e 6. Comunque se la cosa ti interessa sono disponibile per ulteriori chiarimenti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os