Operazioni interne e esterne

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Operazioni interne e esterne #32822

avt
slashrock93
Cerchio
Alla lezione di Algebra abbiamo affrontato le strutture algebriche, insiemi e operazioni interne ed esterne.

Non riesco a capire che cosa esattamente siano le operazioni interne ed esterne e le loro proprietà.

Potreste darmi una mano fornendomi un esempio di operazione interna e uno di operazione esterna, per favore?

Grazie.
 
 

Operazioni interne e esterne #32824

avt
Ifrit
Amministratore
Diamo la definizione formale di operazione binaria interna:

sia X un insieme non vuoto, \circ si definisce operazione binaria interna una legge che a ogni coppia (x_1, x_2)\in X\times X, detti operandi, associa un elemento x_1 \circ x_2 che appartiene a X .

Sottolineiamo che l'aggettivo "binaria" si riferisce al fatto che l'operazione ha bisogno di due operandi. L'aggettivo "interna", invece, evidenzia il fatto che sia gli operandi sia il risultato dell'operazione appartengono al medesimo insieme.

Se uno degli operandi oppure il risultato non appartengono allo stesso insieme, diremo che l'operazione binaria è esterna.

Sono esempi di operazioni binarie interne:

- la somma tra vettori:

+:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}

che associa a due vettori di \mathbb{R}^{n}

\\ \vec{u}=(u_1,u_2,...,u_n) \\ \\ \vec{v}=(v_1,v_2,...,v_n)

il vettore \vec{u}+\vec{v} le cui componenti si ottengono sommando ordinatamente le entrate di \vec{u} con quelle di \vec{v}:

\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,..., u_n+v_n)


- la somma tra matrici dello stesso tipo:

+:\mathbb{R}^{m,n}\times\mathbb{R}^{m,n}\to\mathbb{R}^{m,n}

che associa a due matrici del tipo m\times n

A=(a_{ij})\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=(b_{ij}) \ \ \ \mbox{con} \ i\in\{1,2,...,m\}, \ j\in\{1,2,..., n\}

la matrice somma S, le cui entrate si ottengono sommando gli elementi di A e di B che occupano la medesima posizione:

s_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \ \ \ \mbox{con}\ i\in\{1,2,...,m\}, \ j\in\{1,2,..., n\}

In entrambi i casi, sia gli operandi sia il risultato appartengono al medesimo insieme.


Sono esempi di operazioni binarie esterne:

- il prodotto scalare euclideo per n>1

\cdot:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}

che a due vettori di \mathbb{R}^{n}

\\ \vec{u}=(u_1,u_2,...,u_n)\\ \\ \vec{v}=(v_1,v_2,...,v_n)

associa il numero reale definito dalla legge:

\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n

In questo caso è il risultato a essere "esterno" all'insieme \mathbb{R}^{n}.

Si noti che se n=1, allora il prodotto scalare euclideo coincide con l'usuale moltiplicazione tra numeri reali, la quale è un'operazione binaria interna.


- Il prodotto di uno scalare per un vettore

\cdot:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^n \ \ \ \mbox{con}\ n>1

che associa alla coppia formata da un numero reale \lambda e da un vettore

\vec{u}=(u_1,u_2,...,u_n)

il vettore \lambda\vec{u} avente per componenti le entrate di \vec{u} moltiplicate per lo scalare \lambda

\lambda\vec{u}=(\lambda u_1,\lambda u_2,...,\lambda u_n)

Evidenziamo che per n>1 il prodotto tra uno scalare e un vettore è un'operazione binaria esterna perché gli operandi non appartengono allo stesso insieme. Se invece n=1, allora il prodotto scalare-vettore si riduce all'usuale operazione di moltiplicazione tra numeri reali, che è un'operazione binaria interna.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Operazioni interne e esterne #32837

avt
slashrock93
Cerchio
Grazie mille!
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Os