Anello di funzioni reali

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Anello di funzioni reali #32782

avt
EfreetJunon
Punto
Ciao a tutti,
ho trovato questo esercizio su un anello di funzioni reali, e sinceramente nonostante abbia le dispense davanti non ho idea di come si risolva.

Riporto testualmente:

si ha l'insieme S = R ^ (0 1)
L'insieme di tutte le funzioni reali definite nell'intervallo 0 e 1.

Provare che rispetto alle ordinarie operazioni di somma e moltiplicazione tra funzioni, S è un anello.

Stabilire se S è un campo, un dominio o nessuno dei due.

Normalmente con un insieme diversamente definito riesco a dimostrare che un insieme è un anello senza problemi.
Ma in questo caso, non so cosa andrebbe fatto
 
 

Anello di funzioni reali #32794

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao EfreetJunon (Efreet= Ifrit xD, però non capisco Junon )

Devi procedere in modo canonico, osservando che l'insieme in cui devi lavorare è

\mathbb{R}^{(0,1)}:=\left\{f| f:(0,1)\longrightarrow\mathbb{R}\right\}

Mentre le operazioni di somma e prodotto sono quelle canoniche, ricorda che per definizione di somma:

f, g\in \mathbb{R}^{(0,1)}\implies f+g\in \mathbb{R}^{(0,1)}

dunque:

+: \mathbb{R}^{(0,1)}\times \mathbb{R}^{(0,1)}\longrightarrow\mathbb{R}^{(0,1)}

Valgono le proprietà

associativa:

f, g, h\in\mathbb{R}^{(0,1)}\implies (f+g)+h=f+(g+h)

commutativa

f+g= g+f

L'elemento neutro rispetto alla somma è la funzione identicamente nulla o(x)=0

Per ogni elemento f, esiste il suo opposto -f\in \mathbb{R}^{(0,1)} rispetto a tale operazione, infatti

f(x)+[-f(x)]=0\quad \forall x\in (0,1)


Per quanto riguarda il prodotto, procedi similmente, verificando uno ad uno le proprietà dell'anello.

Se hai dubbi... emt

(\mathbb{R}^{(0,1)}, +, \cdot, 0) è un anello.

Ad occhio mi pare che che non sia un campo (non riusciamo a determinare l'inverso rispetto alla moltiplicazione)


Cosa intendi con dominio? Dominio di integrità?

Ad ogni modo andiamoci piano, fino a qui c'è qualcosa che non quadra?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, EfreetJunon

Anello di funzioni reali #32795

avt
Omega
Amministratore
Ciao EfreetJunon emt

Non farti trarre in inganno dal fatto che gli elementi dell'insieme sono funzioni e non numeri. Il procedimento per dimostrare che

S:=\{f\mbox{ t.c. }f:(0,1)\to \mathbb{R}\}

è standard, bisogna solo prestare un po' di attenzione agli elementi neutri rispetto all'operazione di somma e prodotto.

Vogliamo provare che (S,+,\cdot) è un anello, dove + indica la somma di funzioni standard e \cdot il prodotto tra funzioni.

Dobbiamo dimostrare che:

1) (S,+) è un gruppo abeliano.

Questo è vero, perché la somma di funzioni è certamente associativa, commutativa, esiste l'elemento neutro che è dato dalla funzione identicamente nulla su (0,1) ed esiste l'inverso additivo per qualsiasi elemento dell'insieme. Data f\in (S,+) è sufficiente considerare la funzione -f.

2) (S,\cdot) è un semigruppo abeliano.

Per vederlo è sufficiente osservare che il prodotto di funzioni è associativo, e che esiste l'elemento neutro rispetto al prodotto: è dato dalla funzione che vale identicamente 1 sull'intervallo (0,1).

3) Il prodotto è distributivo rispetto alla somma: vero.

(Tutte le precedenti operazioni tra funzioni sono definite punto a punto mediante la somma e il prodotto di numeri reali.)

---

Ora: (S,+,\cdot) è un anello commutativo. E' pure un dominio di integrità? No, perché non è privo di divisori dello zero.

Considera ad esempio le due funzioni:

f(x)=\begin{cases}1 \mbox{ se }x=\frac{1}{3}\\ 0\mbox{ altrimenti}\end{cases}

g(x)=\begin{cases}1 \mbox{ se }x=\frac{1}{2}\\ 0\mbox{ altrimenti}\end{cases}

Entrambe differiscono dalla funzione identicamente nulla, però risulta che

f(x)\cdot g(x)=0

è proprio la funzione identicamente nulla.

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(S,+,\cdot) è un campo?

No, perché non è vero che tutte le funzioni diverse da quella identicamente nulla ammettono un inverso moltiplicativo (occhio, non stiamo parlando di funzione inversa in senso analitico!).

Ti basta considerare una qualsiasi funzione non identicamente nulla che si annulla in almeno un punto x\in (0,1): in tale circostanza non è possibile trovare una funzione che, moltiplicata per la precedente, restituisca la funzione identicamente pari a 1.

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[Mod] Sposto da "Algebra lineare" a "Algebra".[/Mod]
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, EfreetJunon

Anello di funzioni reali #32796

avt
Omega
Amministratore
@Ifrit: mi hai bruciato sullo start! emt
Ringraziano: Ifrit, EfreetJunon

Anello di funzioni reali #32798

avt
EfreetJunon
Punto
emt grazie ad entrambi, siete stati molto chiari.

Ammetto mi impressionano le "scritture diverse" quando i procedimenti alla fine sono sempre gli stessi. Però si sa quando ti daranno un voto per queste cose, ti fai venire anche i dubbi inesistenti. Molto gentili emt

EfreetDeJunon = ( giocando a Shandalar mi rimase impressa questa carta)
Shandalar = (gioco basato sulle carte Magic)

emt non ho la certezza di poter scrivere queste cose qui... Mio Dio sto facendo spam senza saperlo? In realtà è l'emozione per aver capito l'esercizio, perdonatemi
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os