Verifica funzione suriettiva da N a N

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Verifica funzione suriettiva da N a N #3186

avt
Brin
Frattale
Devo verificare che una funzione definita da N a N è suriettiva, ma c'è qualcosa che non mi torna.

Ecco la traccia dell'esercizio: mostrare che la seguente funzione è suriettiva

f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ \\ f(n)=\begin{cases}n+1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ dispari}\\ n-1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ pari}\end{cases}

Il dominio è \mathbb{N}, il codominio anche. Se calcolo l'immagine di 0 però (lo considero convenzionalmente pari?) ottengo come immagine -1.

In entrambi i casi però codominio e insieme immagine non coincidono. Dove sbaglio?

Grazie!
 
 

Verifica funzione suriettiva da N a N #3190

avt
Omega
Amministratore
Buon Santo Stefano, Brin!

Vediamo di digerire panettone, pandoro e suriettività emt

La funzione assegnata è definita sull'insieme dei numeri naturali e ha valori nell'insieme dei numeri naturali:

f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ \\ f(n)=\begin{cases}n+1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ dispari}\\ n-1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ pari}\end{cases}

Attenzione, è necessaria una premessa importante! Qui su YM, in accordo con la maggior parte delle fonti e degli autori, intendiamo come insieme dei numeri naturali l'insieme degli interi positivi con l'aggiunta di zero

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}

e indichiamo l'insieme degli interi positivi con la notazione

\mathbb{N}^*=\{1,2,3,...\}

Dalla traccia dell'esercizio è palese che il tuo libro considera come numeri naturali i soli interi positivi, dunque zero escluso

\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}

e verosimilmente userà la notazione \mathbb{N}_0 per includere lo zero:

\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,...\}

Perché questa osservazione? Se nelle notazioni del tuo libro la funzione è definita come

f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}

considerando n=0, che è pari, otterremmo

f(0)=0-1=-1

ossia un'immagine non appartenente al codominio. Nosense.

Per evitare fraintendimenti ci appelleremo alla nostra notazione:

f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*\\ \\ f(n)=\begin{cases}n+1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ dispari}\\ n-1 & \mbox{se }n\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ pari}\end{cases}

Ciò premesso, dovendo verificare che la funzione è suriettiva, è sufficiente mostrare che codominio e immagine della funzione coincidono. Niente di difficile: basta osservare che

- i pari hanno immagine dispari: se n è pari allora n-1 è dispari;

- i dispari hanno immagine pari: se n è dispari allora n+1 è pari.

In questo modo vediamo ad esempio che

f:1\to 2\ \ ;\ \ f:2\to 1\\ \\ f:3\to 4\ \ ;\ \ f:4\to 3\\ \\ f:5\to 6\ \ ;\ \ f:6\to 5 \\ \\ ...

Di conseguenza

Im(f)=\mathbb{N}^*=Cod(f)

e la funzione è suriettiva.
Ringraziano: frank094, Ifrit, Brin
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Os