Esercizio composizione di funzioni da N a N

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Esercizio composizione di funzioni da N a N #29603

avt
cocochanel
Punto
Salve a tutti, ho difficoltà e pochissime basi per risolvere questo esercizio sulla composizione di funzioni da N a N... potreste gentilmente spiegarmi i passaggi e mostrarmi i risultati dei punti di questo esercizio?

Indicato con N l'insieme dei numeri naturali compreso lo 0, siano f:N->N
e g:N->N le funzioni definite come segue:

f(n) è il resto della divisione di n per 3 ;

g(n)=2n.

Si consideri la composizione delle due funzioni h=g \circ f:

1. calcolare h(\left\{2,14,19\right\})

2. calcolate h(A) con A=\left\{3n\right\}_n

3. descrivere h-1(B) con B=\left\{2n\right\}

4. descrivere h-1(1)

5. h è iniettiva? E' suriettiva?

Grazie a tutti per l'aiuto in anticipo, sono in situazione di emergenza (compito a breve), vi prego di aiutarmi e spiegarmi come farlo...
 
 

Esercizio composizione di funzioni da N a N #29611

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao cocochanel emt

Abbiamo le funzioni:

f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}

che ad n associa il resto della divisione tra n e 3, in matematica questa operazione può essere espressa come n\mbox{mod}(3)

e la funzione g:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}:g(n)=2n

la funzione composta è:

h(n)=g(f(n))= 2(n\mod(3))


Risolviamo il primo punto. Dobbiamo valutare la funzione h per n=2, 14, 19

Per n=2 abbiamo:

h(2)= 2(2\mod(3))

Ora 2\mod(3)= 2 di conseguenza:


h(2)= 2(2\mod(3))=2\cdot 2=4


Per n=14 abbiamo:

h(14)= 2(14\mod(3))

ora:

14\mod(3)= 2

di conseguenza:


h(14)= 2(14\mod(3))=4


Per n=19

h(19)= 2(19\mod(3))=2


2. Calcoliamo:

h(\left\{3n\right\}_{n=1}^{\infty})=2(3n\mod(3))

Ora 3n è certamente un multiplo di tre di conseguenza il resto tra 3n e 3 è zero:


h(\left\{3n\right\}_{n=1}^{\infty})=2(3n\mod(3))= 2\cdot 0=0

Per il punto 3 c'è qualcosa che non mi torna. La funzione h può assumere i valori 0,2,4.


Non ha senso (per come ho interpretato io l'esercizio) calcolare la contro immagine dell'insieme B.


4.

h^{-1}(1)=\left\{n\in\mathbb{N}: 2(n\mod(3))=1\right\}=\emptyset

Non esiste alcun numero naturale per cui h(n)=1


5. La funzione h non è iniettiva, abbiamo già visto nel punto 1 che esistono due numeri naturali diversi che hanno la stessa immagine. Non è suriettiva in \mathbb{N} perché la funzione h assume i valori 0,2,4.

Spero di non aver mal'interpretato la traccia
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os