Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica

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Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #2952

avt
luciaaa
Cerchio
Ciaooooo, mi dareste una mano con un esercizio in cui devo verificare che una data relazione è una relazione di equivalenza? emt

Il testo dell'esercizio:

fissato n∈N, sia σ la seguente relazione definita su Z:

aσb (mod n) ⇔ a-b= kn, k intero

Si provi che σ è una relazione di equivalenza. Si esamini in dettaglio il caso n=5

Grazie mille emt
 
 

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #2958

avt
frank094
Maestro
Ciao Lucia, per provare che \sigma è una relazione di equivalenza, dobbiamo dimostrare che è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Riflessiva: La relazione si può dire riflessiva quando vale a \sim a, nel nostro caso a \mbox{ } \sigma \mbox{ } a .. andiamo a vedere:

a \mbox{ } \sigma \mbox{ } a \Leftrightarrow a - a = kn

Ma per ipotesi k \in \mathbb{Z}, di conseguenza possiamo benissimo prendere k = 0 e la relazione continua a sussistere: è dunque riflessiva.

Simmetrica: Dobbiamo dimostrare che a \mbox{ } \sigma \mbox{ } b \Rightarrow b \mbox{ } \sigma \mbox{ } a, ossia che se a - b si può scrivere come kn allora si può fare anche per b - a.

Per un k \in \mathbb{Z} vale la seguente relazione

a - b = kn

se ora moltiplichiamo a destra e sinistra per "-1" ci troviamo

b - a = - kn

ne risulta che sarà sufficiente prendere k_2 = - k_1 ( dove k2 si riferisce alla relazione implicata e k1 a quella che implica ) per far sì che la relazione continui a sussistere; è ovvio che se k_1 è intero allora k_2 \in \mathbb{Z}.

Transitiva: La proprietà transitiva è molto facile da verificare, infatti non dobbiamo far altro che vedere che se a - b = k1n e b - c = k2n allora a - c = k3n.
Inziamo con lo scrivere le prime due relazioni che supponiamo essere verificate

a - b = k_1 n

b - c = k_2 n

Se ora ricaviamo b dalla seconda relazione per sostituirla nella prima otteniamo

a - c - k_2 n = k_1 n

a - c = (k_1 + k_2) n

Ma è chiaro che k_1 + k_2 è ancora un intero e quindi appartiene all'insieme dei numeri interi \mathbb{Z} .. e con questo abbiamo finalmente concluso la dimostrazione.

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Se n = 5 ci troviamo di fronte alla relazione \sigma così definita:

a \mbox{ } \sigma \mbox{ } b \mbox{ ( mod 5 )} \Leftrightarrow a - b = 5k

In questo caso la situazione è decisamente diversa in quanto n è un numero fissato e di conseguenza la relazione non vale per qualsiasi a, b \in \mathbb{Z}.
Questa relazione ci dice essenzialmente che a - b si può scrivere come multiplo di 5, con k \in \mathbb{Z} .. inoltre il fatto di aver fissato n non toglie il fatto che questa sia una relazione d'equivalenza.

Ci dice quindi che 0 è sempre multiplo di 5 ( e questo è banale ), che se a - b è multiplo di 5 allora lo è anche b - a ( risultato interessante ) e che se a - b e b - c sono multipli di 5 allora lo è anche a - c ( anche questo interessante ).

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Purtroppo non ho mai svolto esercizi del genere quindi non so cosa vuol dire di analizzare nel dettaglio il caso n = 5 .. se ho dimenticato o non ti è chiaro qualche passaggio chiedi pure emt !
Ringraziano: Omega, Ifrit, luciaaa, CarFaby

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #2998

avt
Omega
Amministratore
Dimostrazione impeccabile, Frank! emt

Credo che nel caso n=5 sia richiesto di studiare il quoziente Z_5 della relazione di congruenza modulo 5, che è un anello e, sulla base della compatibilità delle operazioni indotte nel quoziente, eventualmente di dire se è privo oppure no di divisori dello zero e dunque se è un dominio di integrità, un campo, etc....che ci dici, Lucia?
Ringraziano: frank094, luciaaa, CarFaby

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #3064

avt
luciaaa
Cerchio
ne risulta che sarà sufficiente prendere k_2 = - k_1 ( dove k2 si riferisce alla relazione implicata e k1 a quella che implica ) per far sì che la relazione continui a sussistere; è ovvio che se k_1 è intero allora k_2 \in \mathbb{Z}.

Dunque il K_2 sarà il numero intero k di (a - b = kn) cambiato di segno??

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #3066

avt
luciaaa
Cerchio
Come soluzioni il mio libro porta:

Le classi di equivalenza sono:
[0]= {interi che divisi per n danno per resto 0}={kn|k∈Z}
[1]= {interi che divisi per n danno per resto 1}={kn+1|k∈Z}

[n-1]= {interi che divisi per n danno per resto n-1}={kn+n|k∈Z}


Nel caso n=5 sono in numero di 5, e sono [0][1][2][3][4]


In conclusione... io non ci ho capito chissà quanto emt ma grazie alla spiegazione di Frank094 perlomeno qualcosa più chiara c'è emt

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #3067

avt
frank094
Maestro
Sì. In realtà non è così importante che è proprio lo stesso cambiato di segno quanto il fatto che anche esso appartenga ai numeri Interi.

Per le classi di equivalenza non so dirti .. però se hai ancora dubbi sulla dimostrazione non esitare a chiedere emt !
Ringraziano: Omega

Relazioni di equivalenza e esercizio di verifica #3113

avt
Omega
Amministratore
Vediamo un po' queste classi di equivalenza, partendo dalla definizione. emt
Data una relazione di equivalenza R\subseteq X\times X (formalmente una relazione di equivalenza è definita come un sottoinsieme del cartesiano dell'insieme - con sè stesso - su cui è definita).

Definiamo classe di equivalenza di un elemento a\in X rispetto alla relazione di equivalenza R come il sottoinsieme di X dato da:

[a]_R:=\{x\in X\mbox{ t.c. }xRa\}

cioè [a]_R è l'insieme di tutti gli elementi di X che sono in relazione con a mediante R.

Definiamo poi l'insieme quoziente di X rispetto alla relazione di equivalenza R, e lo indichiamo con X/R come l'insieme di tutte le classi di equivalenza degli elementi di X rispetto a R.

Un'ultima premessa teorica, poi - prometto - l'esercizio non sarà complicato: non è difficile dimostrare che valgono le seguenti proprietà per le classi di equivalenza:

1) per ogni a\in X la corrispondente classe di equivalenza è non vuota;

2) se aRb allora risulta che [a]_R=[b]_R

3) se a non è in relazione mediante R con b allora [a]_R\cap[b]_R=\emptyset

Dalle tre precedenti proprietà segue che X è unione disgiunta di tutte le classi di equivalenza del quoziente X/R. In altre parole, le classi di equivalenza di X rispetto a R costituiscono una partizione di X.

Ora: in guardia! emt Se consideriamo la congruenza modulo 5 non è difficile vedere che essa mette in relazione ogni numero relativo con il resto della divisione del numero per 5.

Ad esempio, 3 è il resto della divisione di 3 per 5; 3 è il resto della divisione di 8 per 5; 3 è il resto della divisione di 13 per 5, e così via: 3 è il resto della divisione di ogni intero della forma 5k+3 con k che varia in \mathbb{Z}. Quindi tutti i numeri del tipo

3,8,13,18,23,28,33,...e i corrispondenti negativi -2,-7,-12,-17,... sono in relazione tra loro mediante la congruenza modulo 5. Stanno, cioè, nella classe di equivalenza della congruenza modulo 5 di 3. Le classi d equivalenza della relazione di congruenza modulo 5 le chiamiamo classi di resto modulo 5.

[3]_5=\{...-17,-12,-7,-2,3,8,13,18,...\}

Ragionandoci su un attimino, è evidente che un discorso del tutto analogo vale per i numeri compresi tra 0 e 4:

[0]_5=\{5k+0\mbox{ al variare di }k\in\mahtbb{Z}\}=\{...,-10,-5,0,5,10,...\}

[1]_5=\{5k+1\mbox{ al variare di }k\in\mahtbb{Z}\}=\{...,-9,-4,1,6,11,...\}

[2]_5=\{5k+2\mbox{ al variare di }k\in\mahtbb{Z}\}=\{...,-8,-3,2,7,12,...\}

[3]_5=\{5k+3\mbox{ al variare di }k\in\mahtbb{Z}\}=\{...,-7,-2,3,8,13,...\}

[4]_5=\{5k+4\mbox{ al variare di }k\in\mahtbb{Z}\}=\{...,-6,-1,4,9,14,...\}

E poi? E poi basta, abbiamo esaurito tutti i numeri relativi! In verità, quando ci viene assegnata una qualsiasi relazione di congruenza modulo n (con n intero maggiore di 1) sappiamo in automatico (è un teorema che si dimostra) che il quoziente Z/n delle classi di resto modulo n contiene esattamente n classi di resto, date da

Z/n=\{[0]_n,[1]_n,...,[n-1]_n\}

Nota: in alcuni testi, il quoziente delle classi di resto modulo n viene indicato con Z_n.

Nella sezione delle Domande&Risposte di Algebra - lato universitario, c'è un bel po' di materiale con cui sbizzarrirsi emt
Ringraziano: frank094, Ifrit, CarFaby, francesko
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