Sistema di 3 equazioni a 3 incognite x,y,z

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Sistema di 3 equazioni a 3 incognite x,y,z #27890

avt
OxRock
Cerchio
Vi disturbo per un sistema non lineare di 3 equazioni con 3 incognite. Sebbene lo abbia risolto con la dovuta attenzione, mi sono perso per strada alcune soluzioni.

Determinare le triple (x,y,z) che soddisfano il seguente sistema non lineare.

\begin{cases}x(x+z)=y^2\\ \\ y(x-z)=0\\ \\ x^2+y^2+z^2=1\end{cases}

Come dicevo, mi mancano due soluzioni che riporta il calcolatore, vale a dire:

\\ x=\frac{1}{2},\ \ y=\frac{1}{\sqrt{2}},\ \ z=\frac{1}{2}\\ \\ \\ x=\frac{1}{2},\ \ y=-\frac{1}{\sqrt{2}},\ \ z=\frac{1}{2}

Come le ricava?
 
 

Re: Sistema di 3 equazioni a 3 incognite x,y,z #27897

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere il sistema di equazioni in tre incognite

\begin{cases}x(x+z)=y^2\\ \\ y(x-z)=0\\ \\ x^2+y^2+z^2=1\end{cases}

Per risolverlo, iniziamo dall'analisi della seconda relazione: è un'equazione in tre incognite risolvibile con la legge di annullamento del prodotto.

Il primo membro dell'equazione

y(x-z)=0

è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire:

y=0\ \ \ \vee \ \ \ x-z=0

Abbiamo ottenuto due condizioni che vanno esaminati separatamente, e in base alle quali, il sistema si tramuta di conseguenza.

Caso y=0

Se y=0, il sistema diventa

\begin{cases}x(x+z)=0\\ \\ 0=0 \\ \\ x^2+z^2=1\end{cases}

Si noti che la seconda equazione si è tramutata in una identità, per cui è una relazione inutile.

\begin{cases}x(x+z)=0\\ \\ x^2+z^2=1\end{cases}

Delle due relazioni, la prima equazione è quella più semplice da risolvere: basta invocare la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale possiamo scrivere:

x(x+z)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0 \ \ \vee \ \ x+z=0

Se x=0, l'equazione x(x+z)=0 si tramuta nell'identità 0=0 mentre

x^2+z^2=1

si riscrive nell'equazione di secondo grado nell'incognita z

z^2=1 \ \ \ \to \ \ \ z=\pm 1

A z=-1 associamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z)=(0,0,-1)

A z=1 associamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z)=(0,0,1)

Il caso x=0 è stato analizzato completamente, ora tocca a x+z=0.

Se x+z=0 allora x=-z e la seconda relazione del sistema

x^2+z^2=1

diventa

(-z)^2+z^2=1 \ \ \ \to \ \ \ z^2+z^2=1

da cui

2z^2=1

Essa è un'equazione pura nell'incognita z che è soddisfatta per

z=-\frac{1}{\sqrt{2}} \ \ \ , \ \ \ z=\frac{1}{\sqrt{2}}

Se z=-\frac{1}{\sqrt{2}}, dalla relazione x=-z ricaviamo il valore associato a x

x=-z \ \ \ \to \ \ \ x=-\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}

per cui scriviamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Se z=\frac{1}{\sqrt{2}} allora il valore associato a x è:

x=-z \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{1}{\sqrt{2}}

per cui la tripla, soluzione del sistema, è:

(x,y,z)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Il caso y=0 è concluso.

Caso x-z=0

Se x-z=0, ossia se x=z, il sistema

\begin{cases}x(x+z)=y^2\\ \\ y(x-z)=0\\ \\ x^2+y^2+z^2=1\end{cases}

si tramuta nel sistema equivalente:

\begin{cases}z(z+z)=y^2\\ \\ 0=0\\ \\ z^2+y^2+z^2=1\end{cases}

dove l'identità 0=0 è superflua, per cui può essere eliminata.

Svolgiamo i calcoli e scriviamo le equazioni in forma normale

\begin{cases}2z^2=y^2\\  \\ z^2+y^2+z^2=1\end{cases}

Dalla prima equazione sappiamo che il quadrato di y coincide con il doppio del quadrato di z e, procedendo per sostituzione nella terza equazione, ricaviamo il sistema

\begin{cases}y^2=2z^2\\  \\ z^2+2z^2+z^2=1\end{cases}

Sommati i monomi simili, la relazione

z^2+2z^2+z^2=1

si trasforma nell'equazione di secondo grado

4z^2=1 \ \ \ \to \ \ \ z^2=\frac{1}{4}

da cui otteniamo due valori associati all'incognita z e sono:

z=-\frac{1}{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z=\frac{1}{2}

Per ricavare i valori di x\ \mbox{e di} \ y, sfruttiamo le relazioni

x=z \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y^2=2z^2

assumendo come noto il valore di z. Più precisamente, se z=-\frac{1}{2} allora:

- da x=z segue che x=-\frac{1}{2}

- da y^2=2z^2 ricaviamo la seguente equazione

y^2=2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \ \ \ \to \ \ \ y^2=\frac{1}{2}

dalla quale otteniamo i seguenti valori di y

y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \ \ \vee \ \ \ y=\frac{1}{\sqrt{2}}

Grazie a tali valori, siamo in grado di scrivere due ulteriori triple che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema:

\\ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{2}\right) \\ \\ \mbox{e} \\ \\ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}\right)

Se z=\frac{1}{2}, le relazioni

x=z \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y^2=2z^2

diventano rispettivamente

x=\frac{1}{2} \ \ \ \mbox{e}\ \ \ y^2=\frac{1}{2}

La prima fornisce il valore da attribuire all'incognita x, la seconda invece richiede qualche qualche passaggio algebrico in più.

y^2=\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \ \ \vee \ \ \ y=\frac{1}{\sqrt{2}}

Con i valori ottenuti possiamo costruire altre due triple che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema

\\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right) \\ \\ \mbox{e} \\ \\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right)

Possiamo concludere che il sistema di equazioni

\begin{cases}x(x+z)=y^2\\ \\ y(x-z)=0\\ \\ x^2+y^2+z^2=1\end{cases}

è soddisfatto dalle triple

\\ (x,y,z)=(0,0,-1)\ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=(0,0,1) \\ \\ \\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ \ \ ,\ \ \ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ \\ \\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2} \right) \ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, OxRock

Re: Sistema di 3 equazioni a 3 incognite x,y,z #27911

avt
OxRock
Cerchio
Grazie mille!
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Os