Sistema di 3 equazioni a 3 incognite x,y,z

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#27890
avt
OxRock
Cerchio
Vi disturbo per un sistema non lineare di 3 equazioni con 3 incognite. Sebbene lo abbia risolto con la dovuta attenzione, mi sono perso per strada alcune soluzioni.

Determinare le triple (x,y,z) che soddisfano il seguente sistema non lineare.

x(x+z) = y^2 ; y(x-z) = 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1

Come dicevo, mi mancano due soluzioni che riporta il calcolatore, vale a dire:

x = (1)/(2), y = (1)/(√(2)), z = (1)/(2) ; x = (1)/(2), y = -(1)/(√(2)), z = (1)/(2)

Come le ricava?
#27897
avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere il sistema di equazioni in tre incognite

x(x+z) = y^2 ; y(x-z) = 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1

Per risolverlo, iniziamo dall'analisi della seconda relazione: è un'equazione in tre incognite risolvibile con la legge di annullamento del prodotto.

Il primo membro dell'equazione

y(x-z) = 0

è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire:

y = 0 ∨ x-z = 0

Abbiamo ottenuto due condizioni che vanno esaminati separatamente, e in base alle quali, il sistema si tramuta di conseguenza.

Caso y=0

Se y = 0, il sistema diventa

x(x+z) = 0 ; 0 = 0 ; x^2+z^2 = 1

Si noti che la seconda equazione si è tramutata in una identità, per cui è una relazione inutile.

x(x+z) = 0 ; x^2+z^2 = 1

Delle due relazioni, la prima equazione è quella più semplice da risolvere: basta invocare la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale possiamo scrivere:

x(x+z) = 0 → x = 0 ∨ x+z = 0

Se x = 0, l'equazione x(x+z) = 0 si tramuta nell'identità 0 = 0 mentre

x^2+z^2 = 1

si riscrive nell'equazione di secondo grado nell'incognita z

z^2 = 1 → z = ±1

A z = -1 associamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z) = (0,0,-1)

A z = 1 associamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z) = (0,0,1)

Il caso x = 0 è stato analizzato completamente, ora tocca a x+z = 0.

Se x+z = 0 allora x = -z e la seconda relazione del sistema

x^2+z^2 = 1

diventa

(-z)^2+z^2 = 1 → z^2+z^2 = 1

da cui

2z^2 = 1

Essa è un'equazione pura nell'incognita z che è soddisfatta per

z = -(1)/(√(2)) , z = (1)/(√(2))

Se z = -(1)/(√(2)), dalla relazione x = -z ricaviamo il valore associato a x

x = -z → x = -[-(1)/(√(2))] = (1)/(√(2))

per cui scriviamo la tripla, soluzione del sistema:

(x,y,z) = ((1)/(√(2)), 0,-(1)/(√(2)))

Se z = (1)/(√(2)) allora il valore associato a x è:

x = -z → x = -(1)/(√(2))

per cui la tripla, soluzione del sistema, è:

(x,y,z) = (-(1)/(√(2)),0,(1)/(√(2)))

Il caso y = 0 è concluso.

Caso x-z=0

Se x-z = 0, ossia se x = z, il sistema

x(x+z) = y^2 ; y(x-z) = 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1

si tramuta nel sistema equivalente:

z(z+z) = y^2 ; 0 = 0 ; z^2+y^2+z^2 = 1

dove l'identità 0 = 0 è superflua, per cui può essere eliminata.

Svolgiamo i calcoli e scriviamo le equazioni in forma normale

2z^2 = y^2 ; ; z^2+y^2+z^2 = 1

Dalla prima equazione sappiamo che il quadrato di y coincide con il doppio del quadrato di z e, procedendo per sostituzione nella terza equazione, ricaviamo il sistema

y^2 = 2z^2 ; ; z^2+2z^2+z^2 = 1

Sommati i monomi simili, la relazione

z^2+2z^2+z^2 = 1

si trasforma nell'equazione di secondo grado

4z^2 = 1 → z^2 = (1)/(4)

da cui otteniamo due valori associati all'incognita z e sono:

z = -(1)/(2) e z = (1)/(2)

Per ricavare i valori di x e di y, sfruttiamo le relazioni

x = z e y^2 = 2z^2

assumendo come noto il valore di z. Più precisamente, se z = -(1)/(2) allora:

- da x = z segue che x = -(1)/(2)

- da y^2 = 2z^2 ricaviamo la seguente equazione

y^2 = 2(-(1)/(2))^2 → y^2 = (1)/(2)

dalla quale otteniamo i seguenti valori di y

y = -(1)/(√(2)) ∨ y = (1)/(√(2))

Grazie a tali valori, siamo in grado di scrivere due ulteriori triple che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema:

(x,y,z) = (-(1)/(2),-(1)/(√(2)),-(1)/(2)) ; e ; (x,y,z) = (-(1)/(2),(1)/(√(2)),-(1)/(2))

Se z = (1)/(2), le relazioni

x = z e y^2 = 2z^2

diventano rispettivamente

x = (1)/(2) e y^2 = (1)/(2)

La prima fornisce il valore da attribuire all'incognita x, la seconda invece richiede qualche qualche passaggio algebrico in più.

y^2 = (1)/(2) → y = -(1)/(√(2)) ∨ y = (1)/(√(2))

Con i valori ottenuti possiamo costruire altre due triple che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema

(x,y,z) = ((1)/(2),-(1)/(√(2)),(1)/(2)) ; e ; (x,y,z) = ((1)/(2),(1)/(√(2)),(1)/(2))

Possiamo concludere che il sistema di equazioni

x(x+z) = y^2 ; y(x-z) = 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1

è soddisfatto dalle triple

(x,y,z) = (0,0,-1) , (x,y,z) = (0,0,1) ; (x,y,z) = ((1)/(√(2)), 0,-(1)/(√(2))) , (x,y,z) = (-(1)/(√(2)),0,(1)/(√(2))) ; (x,y,z) = ((1)/(2),-(1)/(√(2)),(1)/(2)) , (x,y,z) = ((1)/(2),(1)/(√(2)), (1)/(2))

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, OxRock
#27911
avt
OxRock
Cerchio
Grazie mille!
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