Sistema di 3 equazioni a 3 incognite

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Sistema di 3 equazioni a 3 incognite #26940

avt
OxRock
Cerchio
Salve, sono alle prese con un sistema di 3 equazioni a 3 incognite, tuttavia non riesco a trovarmi con i risultati del calcolatore.

Potreste gentilmente illustrarmi il procedimento corretto per risolvere il seguente sistema di 3 equazioni in 3 incognite?

Determinare tutte e sole le triple (x,y,\lambda) che soddisfano il seguente sistema di equazioni non lineari.

\begin{cases}3-3x^2+2\lambda x=0\\ \\ 3y^2+2\lambda y=0\\ \\ x^2+y^2=1\end{cases}

Grazie mille!
 
 

Re: Sistema di 3 equazioni a 3 incognite #26966

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere il seguente sistema di equazioni non lineari

\begin{cases}3x^2+2\lambda x=0 \\ \\ 3y^2+2\lambda y=0\\ \\ x^2+y^2=1\end{cases}

In altre parole, dobbiamo determinare le triple (x,y,\lambda) che soddisfano contemporaneamente le tre equazioni che compongono il sistema.

Prendiamo in considerazione la prima relazione

3x^2+2\lambda x=0

e scomponiamo il polinomio al primo membro avvalendoci della tecnica del raccoglimento totale: mettiamo in evidenza il fattore comune x.

x\left(3x+2\lambda\right)=0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, l'espressione al primo membro è uguale a zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che la compongono è nullo, cioè:

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ 3x+2\lambda=0

Con queste condizioni saremo in grado di determinare le triple che risolvono il sistema: bisogna esaminarle singolarmente e usarle per riscrivere sistemi più semplici che sono equivalenti a quello originale.

Caso x=0

Se x=0, la prima equazione del sistema si tramuta nell'identità 0=0 ed è superflua ai fini dell'esercizio. La terza equazione

x^2+y^2=1

diventa

y^2=1

Il sistema di partenza è quindi equivalente al seguente sistema:

\begin{cases}3y^2+2\lambda y=0 \\ \\ y^2=1\end{cases}

La terza relazione del sistema è in buona sostanza un'equazione pura che forniscono i seguenti valori di y

y^2=1 \ \ \ \to \ \ \ y=-1 \ \ \ \vee \ \ \ y=1

Se y=-1, la seconda equazione del sistema diventa

-[-3+2\lambda]=0 \ \ \ \to \ \ \ 2\lambda-3=0

da cui \lambda=\frac{3}{2}.

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di esplicitare la prima tripla che soddisfa tutte le equazioni del sistema

(x,y,\lambda)=\left(0,-1,\frac{3}{2}\right)

Se invece y=1, la relazione

y[3y+2\lambda]=0

si tramuta nell'equazione di primo grado in \lambda:

3+2\lambda=0 \ \ \ \to \ \ \ \lambda=-\frac{3}{2}

per cui scriviamo la tripla

(x,y,\lambda)=\left(0,1,-\frac{3}{2}\right)

Possiamo mettere un punto al caso x=0 e occuparci del secondo.

Caso 3x+2\lambda=0

Se 3x+2\lambda=0 allora x=-\frac{2}{3}\lambda pertanto:

- la prima equazione del sistema si riduce all'identità 0=0 ed è quindi superflua ai fini dell'esercizio;

- la seconda rimane invariata;

- la terza, ossia x^2+y^2=1, diventa

\left(-\frac{2}{3}\lambda\right)^2+y^2=1

che, grazie alle proprietà delle potenze, si riscrive nella forma:

\frac{4}{9}\lambda^2+y^2=1

Con le informazioni in nostro possesso, possiamo scrivere il sistema equivalente a quello dato che è:

\begin{cases}y(3y+2\lambda)=0\\ \\ \frac{4}{9}\lambda^2+y^2=1\end{cases}

Sfruttando la legge di annullamento del prodotto per esaminare l'equazione y(3y+2\lambda)=0, otteniamo due vincoli

y=0 \ \ \ \vee \ \ \ 3y+2\lambda=0

che vanno analizzati singolarmente.

Se y=0, la relazione

\frac{4}{9}\lambda^2+y^2=1

si tramuta nell'equazione pura

\frac{4}{9}\lambda^2=1 \ \ \ \to \ \ \ \lambda^2=\frac{9}{4}

soddisfatta dai valori

\lambda=-\frac{3}{2} \ \ \ , \ \ \ \lambda=\frac{3}{2}

Non ci resta che usufruire dell'uguaglianza x=-\frac{2}{3}\lambda per determinare i valori da associare a x.

Se \lambda=-\frac{3}{2}, la relazione x=-\frac{2}{3}\lambda consente di scrivere:

x=-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=1

per cui possiamo esprimere la prima tripla che soddisfa il sistema:

(x,y,\lambda)=\left(1,0,-\frac{3}{2}\right)

Se \lambda=\frac{3}{2} e se x=-\frac{2}{3}\lambda allora

x=-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1

per cui la seconda tripla che soddisfa il sistema dato è:

(x,y,\lambda)=\left(-1,0,\frac{3}{2}\right)

Una volta portato a termine il sotto caso y=0, è giunto il momento di esaminare cosa succede per 3y+2\lambda=0, ossia se y=-\frac{2}{3}\lambda.

Sotto questo vincolo la prima equazione del sistema

\begin{cases}y(3y+2\lambda)=0\\ \\ \frac{4}{9}\lambda^2+y^2=1\end{cases}

si tramuta nell'identità 0=0, mentre la seconda diventa

\frac{4}{9}\lambda^2+\left(-\frac{2}{3}\lambda\right)^2=1

Una volta esplicitato il quadrato e sommati tra loro i monomi simili, ricaviamo l'equazione in \lambda:

\frac{4}{9}\lambda^2+\frac{4}{9}\lambda^2=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{8}{9}\lambda^2=1

da cui

\lambda^2=\frac{9}{8}

L'equazione pura ammette due soluzioni opposte e sono:

\lambda=\pm\sqrt{\frac{9}{8}}

Prima di continuare, prendiamoci un momento per semplificare il radicale, sfruttando come si devono le proprietà delle radici.

Ricordando che la radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente di radici, possiamo scrivere l'identità:

\sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=

Volendo, possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}

=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}

pertanto

\lambda=\pm\sqrt{\frac{9}{8}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{4}

Non ci resta che rimpiazzare i valori ottenuti nelle relazioni

x=-\frac{2}{3}\lambda \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=-\frac{2}{3}\lambda

e scrivere le ultime triple soluzione.

A \lambda=-\frac{3\sqrt{2}}{4} associamo i valori

\\ x=-\frac{2}{3}\lambda=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ y=-\frac{2}{3}\lambda=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

per cui la tripla

(x,y,\lambda)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)

è soluzione del sistema.

A \lambda=\frac{3\sqrt{2}}{4} associamo i valori

\\ x=-\frac{2}{3}\lambda=-\frac{2}{3}\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ y=-\frac{2}{3}\lambda=-\frac{2}{3}\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}

per cui la tripla

(x,y,\lambda)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right)

è un'altra soluzione del sistema.

Possiamo concludere che il sistema

\begin{cases}3x^2+2\lambda x=0 \\ \\ 3y^2+2\lambda y=0\\ \\ x^2+y^2=1\end{cases}

è soddisfatto dalle seguenti triple:

\\ (x,y,z)=\left(-1, 0,\frac{3}{2}\right) \ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=\left(0,-1,\frac{3}{2}\right) \\ \\ \\ (x,y,z)=\left(0,1,-\frac{3}{2}\right)\ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=\left(1,0,-\frac{3}{2}\right) \\ \\ \\ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) \ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, OxRock, Danni

Re: Sistema di 3 equazioni a 3 incognite #26990

avt
OxRock
Cerchio
Grazie mille Ifrit!
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Os