Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione

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Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #263

avt
margot
Frattale
Ciao ragazzi, ho un dubbio con un esercizio in cui, usando il principio di induzione, devo dimostrare la validità di una disequazione.

Utilizzando il principio di induzione devo risolvere la seguente disequazione:

Sia a \geq-1, allora vale la disuguaglianza (1+a)^n \geq 1+na per ogni n appartenete ad N.


Passo iniziale: per n=1 osservo che (1+a) \geq 1+a, quindi è vera.


Passo induttivo: dall'ipotesi vera per n=k segue la tesi per n=k+1.

Ipotesi induttiva: (1+a)^k \geq(1+ka)

Da mostrare che: (1+a)^{k+1}\geq 1+(k+1)a

Allora:

(1+a)^{k+1}= (1+a)^k(1+a)\geq {\color{red}(1+ka)(1+a)}=1+a(k+1)+ka^2\geq 1+(k+1)a

Il passaggio evidenziato con un colore è quello che non mi è per niente chiaro! Perché nella dimostrazione del passo induttivo pongo

(1+a)^{k+1}\geq (1+ka)(1+a) ? emt

Grazie mille per la vostra disponibilità!! emt
 
 

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #264

avt
Omega
Amministratore
Ciao Margot, il passaggio che...non ti piace emt ...deriva direttamente dall'ipotesi induttiva

(1+a)^{k}\geq(1+ka)

Devi solo sostituirlo direttamente nella catena di uguaglianze/disuguaglianze:

(1+a)^{k+1} = (1+a)(1+a)^{k}

adesso usi l'ipotesi induttiva

\geq (1+a)(1+ka)=...

Lo vedi così?
Ringraziano: margot, CarFaby

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #265

avt
frank094
Maestro
Ciao, tu parti dall'ipotesi che valga la relazione

(1 + a)^{k} \geq (1 + ka)


E fin qui ci siamo. A questo punto viene svolto un passaggio molto interessante: la disequazione viene moltiplicata a destra e sinistra per la quantità (1 + a) ( sempre positiva essendo a ≥ -1 ).

(1 + a)^{k} \bullet (1 + a) \geq (1 + ka) \bullet (1 + a)


Al primo membro della disequazione possiamo applicare la proprietà delle potenze che ci dice che se abbiamo una moltiplicazione tra basi uguali ( in questo caso a + 1 ) possiamo sommare gli esponenti, ovvero k e 1:

(1 + a)^{k + 1} \geq (1 + ka) \bullet (1 + a)


Al secondo membro invece non c'è nulla di particolare da fare, si svolge semplicemente la moltiplicazione e si procede con la dimostrazione.
Se c'è altro non chiaro fai sapere, ciao.
Ringraziano: margot, CarFaby

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #266

avt
Omega
Amministratore
Grandioso Frank, siamo al limite sella simultaneità! emt

[Sposto nella categoria "Logica" sotto "Strumenti base per la Matematica"]

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #267

avt
margot
Frattale
Grazie mille ad entrambi per avermi risposto, questo esercizio ora mi è chiaro però (scusate se approfitto della vostra disponibilità) forse non è o ben capito il meccanismo perché lo stesso passaggio non mi è chiaro in questo esercizio:

2^n>n

Passo iniziale: per n=1 la tesi è vera


Passo induttivo: dimostro che dall'ipotesi 2^k>k segue la tesi 2^{k+1}>k+1

Ipotesi induttiva: 2^k>k

Da dimostrare che: 2^{k+1}>k+1

2^{k+1} = 2^k \cdot 2 > {\color{red}2^k = k+k} > k+1

Anche in questo caso il passaggio che non ho capito è porre 2^{k+1} > 2^k !
Perché? emt

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #269

avt
frank094
Maestro
Ne approfitto col dirti che 2^k = k + k non è una relazione valida; al contrario lo è 2k = k + k, hai forse sbagliato simbolo?

Anche in questo caso partiamo da una ipotesi per arrivare ad una certa tesi. L'ipotesi in questione è:

2^{k} > k


E di nuovo fin qui ci siamo. A questo punto però dobbiamo arrivare alla tesi .. lo svolgimento è del tutto simile a quello del post precedente: qui si moltiplica per 2:

2^{k}\bullet 2 > k \bullet 2


La proprietà della potenze ci dice di nuovo che possiamo sommare gli esponenti ( 2^(k+1) = 2^k * 2 ).

2^{k + 1} > k \bullet 2


Al secondo membro invece è chiaro che si può solo svolgere la moltiplicazione ricordando che nk si può scrivere anche come (k + k + k + ... + kn), nel nostro caso 2k = (k + k).

2^{k + 1} > 2k = k + k


A questo punto è chiaro che k + k è maggiore di k + 1 ( quando k > 1 ) quindi la tesi è dimostrata

2^{k + 1} > 2k = k + k > k + 1

Potrebbe tornarti utile la spiegazione sul principio di induzione, dai un'occhiata emt

Grandioso Frank, siamo al limite sella simultaneità!

Decisamente emt!
Ringraziano: CarFaby

Esercizio, principio di induzione, dimostrare una disequazione #270

avt
margot
Frattale
GRAZIE MILLE DAVVERO !!! SEI STATO CHIARISSIMO !!! emt

Provo a fare degli altri esercizi ... grazie ancora !!! emt
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Os