L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma

Ciao a tutti.

Avrei bisogno di aiuto con una dimostrazione di un risultato algebrico: l'elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell'elemento neutro rispetto alla somma.

In particolare, qual è il procedimento per dimostrare che in un campo ordinato l’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma e per dedurne le disuguaglianze?

Come si può procedere?

Grazie in anticipo a tutti

Ciao David! le tue domande sono sempre molto interessanti e sono di solito quelle che i professori definiscono "banali" di conseguenza, solitamente, gli studenti le prendono sotto gamba.

Ad ogni modo cominciamo:

Consideriamo un campo ordinato

dove:

• è l'elemento neutro rispetto alla somma, di conseguenza per ogni si ha:



• è l'elemento neutro rispetto al prodotto. Di conseguenza per ogni si ha:



• è la relazione d'ordine definita sul campo.
La relazione d'ordine ovviamente deve agire anche sulle operazioni e lo fa in questo modo:

(1) Se
(2) Se

(Nota tra l'altro che da questi seguono i principi di equivalenza delle disequazioni )

Partiamo con una cosa facile:

sia con allora sommando membro a membro per l'opposto di a, che chiamo -a, per la proprietà (1) si ha:



da cui:



Cioè, elementi opposti hanno segno opposto! Supponiamo per assurdo che:



Allora l'opposto di 1 deve essere necessariamente positivo



utilizzando la (2), con allora:



Da cui si ottiene che , in disaccordo con .

Pertanto deve essere falsa la nostra ipotesi, deve valere quindi:



Dobbiamo escludere il caso , perché per definizione di campo, l'elemento neutro della moltiplicazione è diverso dall'elemento neutro della somma. Possiamo concludere quindi che

perchè in questo passaggio:

"utilizzando la (2), con "

scegli questi valori di a,b e c?

Non è che li scelga a caso , in qualche modo devo ricondurmi ad un assurdo, utilizzando gli assiomi che definiscono un campo ordinato

la relazione (2) vale per ogni valore del campo, di conseguenza varrà anche per quei particolari valori, giungiamo ad un assurdo che arriva però dalla supposizione 1<0. Spero sia un po' più chiaro

Ho capito Ifrit ti ringrazio