L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma #2583

avt
David
Cerchio
Ciao a tutti.

Avrei bisogno di aiuto con una dimostrazione di un risultato algebrico: l'elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell'elemento neutro rispetto alla somma.

In particolare, qual è il procedimento per dimostrare che in un campo ordinato l’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma e per dedurne le disuguaglianze?

Come si può procedere?

Grazie in anticipo a tutti
 
 

L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma #2613

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao David! le tue domande sono sempre molto interessanti e sono di solito quelle che i professori definiscono "banali" di conseguenza, solitamente, gli studenti le prendono sotto gamba.

Ad ogni modo cominciamo:

Consideriamo un campo ordinato (\mathbb{K},+, \circ, 0, 1, <)

dove:

0 è l'elemento neutro rispetto alla somma, di conseguenza per ogni a\in \mathbb{K} si ha:

a+0= a

1 è l'elemento neutro rispetto al prodotto. Di conseguenza per ogni a\in \mathbb{K} si ha:

a\circ 1= a

a<b è la relazione d'ordine definita sul campo.
La relazione d'ordine ovviamente deve agire anche sulle operazioni +\mbox{ e }\circ e lo fa in questo modo:

(1) Se a<b\implies a+c<b+c\qquad\qquad a, b, c \in \mathbb{K}
(2) Se a < b \wedge 0 < c \implies ac < bc

(Nota tra l'altro che da questi seguono i principi di equivalenza delle disequazioni )

Partiamo con una cosa facile:

sia a\in \mathbb{K} con a>0 allora sommando membro a membro per l'opposto di a, che chiamo -a, per la proprietà (1) si ha:

a+(-a)>0+(-a)

da cui:

0>-a

Cioè, elementi opposti hanno segno opposto! Supponiamo per assurdo che:

1<0\qquad\qquad \heartsuit

Allora l'opposto di 1 deve essere necessariamente positivo

-1>0

utilizzando la (2), con a=0, b=-1, c=-1 allora:

0(-1)<(-1)(-1)

Da cui si ottiene che 0<1, in disaccordo con \heartsuit.

Pertanto deve essere falsa la nostra ipotesi, deve valere quindi:

0\le 1

Dobbiamo escludere il caso 0=1, perché per definizione di campo, l'elemento neutro della moltiplicazione è diverso dall'elemento neutro della somma. Possiamo concludere quindi che

0<1
Ringraziano: Omega, frank094, David

L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma #2617

avt
David
Cerchio
perchè in questo passaggio:

"utilizzando la (2), con a=0, b=-1, c=-1"

scegli questi valori di a,b e c?

L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma #2618

avt
Ifrit
Ambasciatore
Non è che li scelga a caso emt, in qualche modo devo ricondurmi ad un assurdo, utilizzando gli assiomi che definiscono un campo ordinato emt

la relazione (2) vale per ogni valore del campo, di conseguenza varrà anche per quei particolari valori, giungiamo ad un assurdo che arriva però dalla supposizione 1<0. Spero sia un po' più chiaro emt
Ringraziano: Omega, David

L’elemento neutro rispetto al prodotto è sempre maggiore dell’elemento neutro rispetto alla somma #2625

avt
David
Cerchio
Ho capito Ifrit emt ti ringrazio
  • Pagina:
  • 1
Os