Omomorfismi di S3 in Z7

Ciao a tutti!

Devo determinare tutti gli omomorfismi di S3 in Z7....come devo svolgere questo esercizio??

Ciao WhiteC

E' la prima domanda che fai di Algebra, in mezzo a tutte quelle che hai fatto per Analisi e Algebra Lineare! Bene bene...

Per risolvere l'esercizio, ci serviranno:

1) Il teorema fondamentale di omomorfismo:

Dati due gruppi e fato un omomorfismo , l'applicazione

data da

è un isomorfismo di gruppi. in particolare .

2) Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è un sottogruppo di , mentre l'immagine è un sottogruppo di .

3) Il teorema di Lagrange:

dato un gruppo e un sottogruppo di , e detto l'indice di in (cioè il numero di laterali di in ) risulta che

in particolare, se ne deduce che

Noi applicheremo tale teorema prendendo

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Considerazioni preliminari: è un gruppo costituito da 6 elementi, mentre è costituito da 7 elementi.

Consideriamo un generico omomorfismo

e consideriamo , che è un sottogruppo di , per cui per il teorema di Lagrange

Essendo un primo, necessariamente

.

Per il teorema di omomorfismo sappiamo che

quindi

da cui deduciamo che , dunque

Concludiamo che l'unica possibilità è data da

per cui

e quindi esiste uno ed un solo omomorfismo da a : l'omomorfismo che manda tutti gli elementi di nell'elemento neutro di .