Omomorfismi di S3 in Z7

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Omomorfismi di S3 in Z7 #24791

avt
WhiteC
Frattale
Ciao a tutti!
Devo determinare tutti gli omomorfismi di S3 in Z7....come devo svolgere questo esercizio??
 
 

Re: Omomorfismi di S3 in Z7 #24825

avt
Omega
Amministratore
Ciao WhiteC emt

E' la prima domanda che fai di Algebra, in mezzo a tutte quelle che hai fatto per Analisi e Algebra Lineare! Bene bene...emt

Per risolvere l'esercizio, ci serviranno:

1) Il teorema fondamentale di omomorfismo:

Dati due gruppi G,G' e fato un omomorfismo F:G\to G', l'applicazione

\varphi:G/Ker(F)\to Im(F)

data da

\varphi: [x]\to F(x)

è un isomorfismo di gruppi. in particolare Im(F)\simeq G/Ker(F).

2) Il nucleo di un omomorfismo di gruppi F_G\to G' è un sottogruppo di G, mentre l'immagine è un sottogruppo di G'.

3) Il teorema di Lagrange:

dato un gruppo G e un sottogruppo H di G, e detto |G:H| l'indice di H in G (cioè il numero di laterali di H in G) risulta che

|G|=|H|\cdot |G:H|

in particolare, se ne deduce che

|H| | |G|

Noi applicheremo tale teorema prendendo

H=Im(F),G=Z_{7}

---

Considerazioni preliminari: S_{3} è un gruppo costituito da 6 elementi, mentre Z_7 è costituito da 7 elementi.

Consideriamo un generico omomorfismo

F:S_3\to Z_7

e consideriamo Im(F), che è un sottogruppo di Z_7, per cui per il teorema di Lagrange

|Im(F)|||Z_7|

Essendo |Z_7|=7 un primo, necessariamente

|Im(F)|=1\vee 7.

Per il teorema di omomorfismo sappiamo che

|Im(F)|=|S_3/Ker(F)|

quindi

|Im(F)|=|S_3|/|Ker(F)|

da cui deduciamo che |Im(F)|||S_3|=6, dunque

|Im(F)|=1\vee 2\vee 3\vee 6

Concludiamo che l'unica possibilità è data da

|Im(F)|=1

per cui

|Ker(F)|=6

e quindi esiste uno ed un solo omomorfismo da S_3 a Z_7: l'omomorfismo che manda tutti gli elementi di S_3 nell'elemento neutro di Z_7.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, WhiteC, Fred, CarFaby
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